Sylaby z predmetu 5BF017 Matematická analýza I



Základné pojmy z teórie množín a reálnych čísel [Tč]

  • Dôkazy v matematike (priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz pomocou obrátenej implikácie, dôkaz sporom, dôkaz matematickou indukciou, ... )
  • Množina (množina, prvok množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel, symetrický rozdiel množín, doplnok množiny, karteziánsky súčin množín, ... )
  • Zobrazenie množín (binárna relácia, funkcia, definičný obor, obor hodnôt, injekcia, surjekcia, bijekcia, rovnosť zobrazení, zložené a inverzné zobrazenie, identita, ... )
  • Číselné množiny (ekvivalentnosť množín, mohutnosť množín, ekvivalencia množín, spočítateľnosť a nespočítateľnosť množín, horné a dolné ohraničenie množiny, minimum, maximum, infimum, suprémum množiny, ... )
  • Číselné množiny (množiny prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísel, nekonečno a operácie s nekonečnom, rozšírená množina reálnych čísel, Cantorov princíp do seba vložených intervalov, absolútna hodnota a signum reálneho čísla, ... )
  • Okolia a intervaly (okolie bodu, prstencové okolie bodu, systém všetkých okolí bodu, relatívne okolie vzhľadom na množinu, pravé a ľavé okolie bodu, degenerované a nedegenerované intervaly a ich vzťah s okoliami, ... )
  • Otvorené a uzavreté množiny (vnútorný, vonkajší a hraničný bod množiny, vnútro, vonkajšok a hranica množiny, hromadný bod množiny, uzáver množiny, uzavretá množina, izolovaný bod množiny, otvorená množina, príklady otvorených a uzavretých množín, ... )

    • Postupnosti reálnych čísel [Pč]

  • Postupnosti -- základné pojmy (explicitné a rekurentné vyjadrenie, zhora a zdola ohraničené, ohraničené a neohraničené postupnosti, monotónne a konštantné postupnosti, vybrané postupnosti, operácie s postupnosťami -- súčet, rozdiel, súčin a podiel postupností, ... )
  • Limita postupnosti (vlastný a nevlastný hromadný bod, veta o existencii aspoň jedného hromadného bodu postupnosti, množina hromadných hodnôt postupnosti, limes inferior, limes superior postupnosti, limita postupnosti, vlkastná a nevlastná limita, ... )
  • Limita postupnosti (ekvivalentná definícia vlastnej a nevlastnej limity, konvergecia a divergencia postupnosti, oscilácia postupnosti, vzťah medzi hromadným bodom množiny a postupnosťou bodov tejto množiny, ... )
  • Základné pravidlá pre výpočet limít postupností (vzťah medzi limitou postupnosti a limitou vybranej postupnosti, vzťah medzi limitami postupností {a_n} a {a_(n+1)}, limita postupností {c.a_n}, {abs(a_n)}, {a_n+b_n}, {a_n-b_n}, {a_n.b_n}, {a_n/b_n}, vzťah medzi limitami postupností {a_n} a {abs(a_n)}, resp. {a_n} a {1/a_n}, vzťah medzi limitami postupností {a_n} a {b_n}, ak a_n<b_n, resp. a_n<=b_n, veta o zovretí, ... )
  • Vety pre výpočet limít postupností a niektoré dôležité limity postupností (vzťah medzi limitami postupností {a_n} a {sqrt[n](a_n)}, resp. {a_n} a {a_(n+1)/a_n}, veta o limite monotónnej postupnosti, dôležité limity - lim(sqrt[n](a)), lim(1+1/1!+1/2!+...+1/n!), lim(1+1/n)^n, lim(1+a/n)^n, lim(n(sqrt[n](e)-1)), lim(sqrt[n](n)), lim(sqrt[n](n!)), lim(n!/n^n), lim(a^n/n!), lim(n^k/a^n), ... )

    • Reálna funkcia reálnej premennej [Fc]

  • Pojem reálnej funkcie (definícia, D(f), H(f), prirodzený D(f), graf funkcie, funkcia zadaná explicitne, implicitne, parametricky, Dirichletova funkcia, ... )
  • Základné vlastnosti reálnych funkcií (ohraničenosť zdola, zhora, ohraničenosť, neohraničenosť, infimum a suprémum funkcie, lokálne a globálne extrémy funkcie, monotónne funkcie, párne a nepárne funkcie, periodické funkcie, konvexné a konkávne funkcie, ... )
  • Operácie s funkciami (rovnosť a nerovnosť funkcií f, g na množine, vzťah f<g, resp. f<=g na množine, operácie f+g, f-g, f.g, f/g, abs(f), f^n, reštrikcia funkcie f na množinu A, zložená a inverzná funkcia, ... )
  • Elementárne funkcie (definícia, polynóm, racionálna lomená funkcia, mocninná funkcia, exponenciálna funkcia, logaritmická funkcia, goniometrické a cyklometrické funkcie, súčtové vzorce pre funkcie sínus a kosínus, hyperbolické a hyperbolometrické funkcie, ... )
  • Limita funkcie (definícia, ekvivalentná definícia pomocou okolí, limita funkcie vzhľadom na množinu, limita zľava a sprava, limita funkcií f+g, f-g, c.f, f.g, abs(f), f/g, limita pre funkcie f<g, limita zloženej funkcie, vzťah medzi limitou a jednostrannými limitami, ... )
  • Spojitosť funkcie v bode (definícia, ekvivalentná definícia pomocou okolí, nespojitosť v bode, body odstrániteľnej a neodstrániteľnej nespojitosti, spojitosť funkcií f+g, f-g, c.f, f.g, abs(f), f/g, spojitosť zloženej funkcie, lokálna ohraničenosť spojitej funkcie, spojitosť vzhľadom na množinu, spojitosť zľava a sprava, spojitosť inverznej funkcie, ... )

    • Diferenciálny počet funkcie reálnej premennej [De]

  • Derivácia funkcie v bode (definícia, rôzne zápisy, vlastná a nevlastná derivácia funkcie v bode, vzťah medzi spojitosťou a deriváciou funkcie v danom bode, jednostranné derivácie v bode, derivácia funkcie na množine, ... )
  • Základné vzťahy pre deriváciu funkcie (derivácia funkcií f+g, f-g, c.f, f.g, f/g, derivácia inverznej funkcie, derivácia zloženej funkcie, logaritmická derivácia, základné vzorce pre deriváciu funkcií c, x^a, a^x, e^x, ln(x), sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), arcos(x), arctg(x), arccotg(x), ... )
  • Diferenciál funkcie v bode (definícia, diferencovateľná funkcia, veta o najlepšej lokálnej aproximácii lineárnou funkciou a jej využitie, ...
  • Derivácia a diferenciál vyšších rádov (definícia derivácie n-tého rádu, rôzne zápisy, Leibnizov vzorec, diferenciál n-tého rádu v bode, derivácia funkcie zadanej parametricky, derivácia funkcie zadanej implicitne, ... )
  • Aplikácie diferenciálneho počtu (vety o stredných hodnotách -- Rolleho a Lagrangeova veta, L'Hospitalovo pravidlo pre výpočet limity funkcie a jeho využitie, ... )
  • Taylorov polynóm (definícia, zvyšok Taylorovho polynómu, koeficienty Taylorovho polynómu, MacLaurinov polynóm, MacLaurinove polynómy funkcií sin(x), cos(x), e^x, ... )
  • Vyšetrovanie priebehu funkcie pomocou diferenciálneho počtu (monotónnosť a extrémy funkcie, nutná a postačujúca podmienka existencie extrémov, stacionárny bod, konvexnosť, konkávnosť, inflexný bod, existencia inflexného bodu, asymptoty bez smernice a asymptoty so smernicou, ... )

    • Neurčitý integrál [Ni]

  • Základné pojmy (primitívna funkcia, vlastnosti primitívnej funkcie, neurčitý integrál, integrovanie spojitých funkcií, základné vzorce pre integrovanie elementárnych funkcií, ... )
  • Základné metódy integrovania (metóda rozkladu, metóda per partes, metóda substitúcie, ... )
  • Niektoré špeciálne metódy integrovania (parciálne zlomky, integrovanie racionálnej lomenej funkcie, integrovanie iracionálnych funkcií typu f(m-Sqrt[(ax+b)/(cx+d)]), metóda neurčitých koeficientov pre integrály funkcií typu e^ax.P(x), sin(ax).P(x)+cos(ax).Q(x), ... )
  • Niektoré špeciálne metódy integrovania (integrovanie funkcie f(Sqrt[ax^2+bx+c]), Eulerove substitúcie I., II., III. druhu, integrovanie goniometrických funkcií typu f(sin(x),cos(x)), univerzálna goniometrická substitúcia, ... )

    • Určitý Riemannov integrál [Ui]

  • Základné pojmy (krivočiary lichobežník, delenie intervalu, deliace body, norma delenia, zjemnenie delenia, dolný a horný integrálny súčet, Riemannov integrálny súčet, ich vlastnosti a vzťahy medzi nimi, dolný a horný Riemannov integrál, Riemannov integrál a vzťahy medzi nimi, Riemannovsky integrovateľná funkcia, ... )
  • Riemannov integrál (základné vlastnosti, geometrická interpretácia Riemannovho integrálu, integrovanie funkcií cf, f+g, aditívnosť, definícia pre a=b, b=0, f<=g, f=g, ... )
  • Neurčitý Riemannov integrál (integrál ako funkcia hornej hranice, jeho základné vlastnosti, diferencovateľnosť neurčitého Riemannovho integrálu, veta o existencii primitívnej funkcie, Newton-Leibnizov vzorec, metóda per partes, metóda substitúcie, integrovanie párnej a nepárnej funkcie na intervale <-a,a>, ... )
  • Numerické integrovanie (obdĺžniková metóda, lichobežníková metóda, Simpsonová metóda, chyby týchto metód, ... )
  • Nevlastný Riemannov integrál vplyvom funkcie a vplyvom hranice (definícia a základné pojmy, integrál neohraničenej funkcie na ohraničenom intervale, integrál na neohraničenom intervale z jednej strany, integrál na R, konvergencia, singulárne body integrálu, ... )
  • Nevlastný Riemannov integrál vplyvom funkcie a vplyvom hranice (Cauchyho hlavná hodnota a jej vzťah s integrálom, porovnávacie a limitné porovnávacie kritérium konvergencie, ... )
  • Aplikácie určitého integrálu (obsah rovinného obrazca, dĺžka krivky, objem a povrch rotačných telies pre funkciu f zadanú explicitne a parametricky, ... )


    • PREDCHÁDZAJÚCA STRANA   alebo tiež   PREDCHÁDZAJÚCA STRANA
    HOME PAGE

    beerb@frcatel.fri.utc.sk