%        Tento dokument je naps�n v k�dov�n� bratr� Kamenick�ch.

%\documentclass[11pt,a4paper]{report}
\documentclass[twoside,11pt,a4paper]{report}
\usepackage{czech}
\renewcommand{\figurename}{Obr.}
\usepackage{epic} % Je pot�eba pro nakreslen� obr�zku v prost�ed� picture.
                  % neumo��uje libovoln� sklony �se�ek - p��kaz \drawline
                  % si s t�m porad� tak, �e �se�ku slo�� z me��ch �se�ek
                  % s mo�n�mi sklony

%\usepackage{eepic} % Pro zv��en� kvality obr�zku z prost�ed� picture je t�eba
                    % p�idat je�t� tento bal�k. Po odkomentov�n� tohoto ��dku 
                    % jsou t�mto bal�kem n�kter� p��kazy p�edefinov�ny, co� 
                    % umo�n� nap�. libovoln� sklony �se�ek. Za��d� se to 
                    % vlo�en�m vhodn�ch p��kaz� postscriptu do dvi 
                    % souboru - nen� jist�, zda si s t�m v�� prohl��e� nebo 
                    % tiskov� filtr porad� - zda bude tyto elementy spr�vn� 
                    % interpretovat. V p��pad� pot��� pak pom��e transformace 
                    % takov�hoto dvi souboru do postscriptu.
\pagestyle{plain}
\marginparwidth=2.5cm
\marginparsep=1cm
\begin{document}
\hyphenation{zdiskre-ti-zu-je-me Gyar-mathy  termo-dy-na-mic-k�}
\vspace{1cm}
{\Large\bfseries
\begin{center}
�stav termomechaniky AV �R v Praze

\vspace{3cm}
Ing. Hjhshj Plkkjlk 

\vspace{2cm}
{\Huge\bfseries Kinetika f�zov�ho p�echodu p�ra--kapalina a jej� numerick�
           simulace}

\vspace{2cm}
39--02--9 Termomechanika a mechanika tekutin

\vspace{1.5cm}
Kandid�tsk� diserta�n� pr�ce

\vspace{1.5cm}
�kolitel:\ \ \ doc. Ing. Jsdlkjh Hjshhj, DrSc.

\vspace{2.5cm}
Praha\ 1996
\end{center}
}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}
\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{1}
\vspace{2em}
\newpage
\chapter*{Souhrn}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Souhrn}
Je vytvo�en jednoduch� model povrchov�ho nap�t� sf�ricky zak�iven�ho
povrchu a je uk�z�no, �e jeho aplikace v Lotheho--Poundov� modelu homogenn�
nukleace zna�n� zmen�� d��v�j�� nesoulad tohoto modelu s
experiment�ln�mi v�sledky pro p�ev��n� pol�rn� l�tky. D�le je sestaven
syst�m rovnic popisuj�c� proud�n� s homogenn� kondenzac� p�i�em� se
respektuje skute�nost, �e v objemov�m elementu tekutiny se mohou nal�zat
kapky r�zn�ch velikost�. D�le je vytvo�en k�d pro simulaci jednorozm�rn�ho
proud�n� s homogenn� kondenzac� p�i pou�it� modelu r�stu kapky v p�ibl��en�
proudu voln�ch molekul a p�i pou�it� Hillovy aproximace. V�sledky simulac�
jsou porovn�ny s v�sledky experiment� pro studium kondenzace na r�zov�
trubici proveden� v �T AV�R. Rozd�ly mezi v�sledky simulac� a experiment�ln�m
v�sledkem jsou diskutov�ny.
\newpage
\chapter*{Seznam symbol�}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Seznam symbol�}
\begin{tabbing}
%\marginpar{Toto je n�jak� pozn�mka na okraji}
\hspace{3.5cm}\= \hspace{3.5cm}\= \hspace{3.5cm} \kill
$a_l $ \> $[m^2/s]$ \>  teplotn� difuzivita kapaliny\\
$B $ \> $[m^3/kg]$ \>  druh� viri�ln� koeficient\\
$\vec{b} $ \> $[N]$ \>  objemov� s�la\\
$C $ \> $[m^3/kgPa] $ \>  t�et� viri�ln� koeficient\\
$c $ \> $ [m/s] $ \>  rychlost zvuku\\
$cor $ \> $ [1] $ \>  korek�n� faktor \\
\>  \>  povrchov�ho nap�t�
\end{tabbing}
\vspace{1cm}
\newpage
\chapter*{�vod}
\addcontentsline{toc}{chapter}{�vod}
% Pokud bychom cht�li n�jakou mezeru mezi odstavci v n�sleduj�c�m textu, 
% m��eme toho dos�hnout nap�. odkomentov�n�m n�sleduj�c�ho ��dku.
%\parskip 5pt
\section*{P�ehled sou�asn�ho stavu}
\addcontentsline{toc}{section}{P�ehled sou�asn�ho stavu}
Homogenn� kondenzace se skl�d� ze dvou charakteristick�ch st�di� --
homogenn� nukleace a r�stu kapky. Model r�stu kapky (alespo� v p��pad�,
kdy kondenzuje jen jedna l�tka) je pom�rn� dob�e propracov�n
\marginpar[Toto je n�jak� pozn�mka na okraji k tomuto textu $\rightarrow$]{
Toto je n�jak� pozn�mka na okraji k tomuto textu $\leftarrow$}
\cite{Gyarmathyinmulti82}
a nen� bezprost�edn�m c�lem na�eho zkoum�n�.

Teoreticky zaj�mav�j��m je st�dium
nukleace. Je to tvo�en� velmi mal�ch kapek -- z�rodk� -- nuklej�. Tyto
z�rodky maj� velkou pravd�podobnost, �e d�le porostou a jejich
po�et a velikosti jsou kl��ov� pro cel� proces kondenzace. V jednotce
objemu se za jednotku �asu vytvo�� jist� mno�stv� t�chto z�rodk�, kter�
se naz�v� nuklea�n� rychlost.
Jedn� se o
st�dium, kdy hrajou roli individu�ln� vlastnosti molekul, kontinu�ln�
popis \uv{l�tky}, z n�� se z�rodek sest�v�, p�est�v� b�t adekv�tn� a objevuj�
se r�zn�, v mnoha ot�zk�ch navz�jem se rozch�zej�c� teorie.
Nuklea�n� rychlost z�vis� na
podm�nk�ch (tlaku a teplot�) a na l�tkov�ch vlastnostech. Typick�m znakem
sou�asn�ch nuklea�n�ch teori� je snaha vysta�it s makroskopicky dob�e
m��iteln�mi vlastnostmi -- nap�. makroskopickou hustotou, k�ivkou
nasycen�ch par a povrchov�m nap�t�m. Historicky nejstar�� je tzv.
klasick� teorie nukleace, jej�� vznik je spojen se jm�ny Becker,
D\"oring, Zeldovi� a Frenkel. Tato teorie obst�la p�i kvantitativn�m
popisu nuklea�n� rychlosti vody. V p��pad� nepol�rn�ch l�tek je v�ak
souhlas s experimentem zcela neuspokojiv�.
Pozd�ji se vyskytly v��n� n�mitky proti jej� konzistentnosti se
statistickou termodynamikou a vznikly teorie kter� jsou
se statistickou termodynamikou konzistentn�j��. Jedn� se nap�. o
\makebox{Lotheho--Poundovu} % aby se n�m to nerozd�lilo
teorii nukleace \cite{Lothe62} nebo teorii zalo�enou na Fisherov�
modelu voln� enerie klastr� \cite{Kiang71}. Ned�vno se objevil pokus o
\uv{n�pravu} mnoha rozpor� klasick� teorie nukleace jej� m�rnou modifikac�
\cite{Girshick90}. V posledn� dob� se objevily pr�ce,
kter� se op�raj� o Fisher�v v�raz pro volnou klastru s povrchov�m
nap�t�m z�visl�m na velikosti klastru \cite{Dillmann91,Kalikmanov95}.
Av�ak ani tyto konzistentn�j�� teorie nepopisuj� uspokojiv� nukleaci
sou�asn� pol�rn�ch i nepol�rn�ch l�tek.
Tyto d�vody neust�le iniciuj� dal�� experiment�ln� i teoretick�
v�zkum homogenn� nukleace.
Podrobn� v�klad nejd�le�it�j��ch nuklea�n�ch
teori� bude uveden ve druh� kapitole s jist�m d�razem na historick�
souvislosti.
\section*{C�l pr�ce}
\addcontentsline{toc}{section}{C�l pr�ce}
\marginpar[Toto je n�jak� pozn�mka na okraji k tomuto textu $\rightarrow$]{
Toto je n�jak� pozn�mka na okraji k tomuto textu $\leftarrow$}
C�lem t�to pr�ce je:
\begin{itemize}
\item prohloubit znalosti o podstat� f�zov�ho p�echodu
\makebox{plyn--kapalina} na mikroskopick� �rovni
\item sestaven� syst�mu rovnic, kter� dostate�n� p�esn� popisuje
chov�n� syst�mu s proud�n�m a kondenzac� pro ��ely studia kondenzace
pomoc� r�zov� trubice. Tento syst�m mus� b�t
p�itom st�le �e�iteln� sou�asn�mi v�po�etn�mi prost�edky (alespo� pro
p��pady jednodimenzion�ln�ho a dvoudimenzion�ln�ho proud�n�)
\item vytvo�en� spolehliv�ho po��ta�ov�ho programu pro p��pad
jednodimenzion�ln�ho proud�n�, kter� by m�l slou�it pro lep�� ��zen�
experiment� na r�zov� trubici prov�d�n� v sou�asn� dob� v �T AV�R a
srovn�n�m nam��en�ch a vypo�ten�ch
hodnot umo�nit verifikaci r�zn�ch fyzik�ln�ch model� kondenzace, p�edev��m
pak jeho d�le�it� f�ze -- nukleace.
\end{itemize}
\newpage
\chapter{Jednorozm�rn� proud�n� nevazk� homogenn� tekutiny}
\label{prvnikap}
\section{Bilan�n� rovnice}
Proud�n� v r�zov� trubici m��eme �asto s dobrou aproximac� pova�ovat
za jednorozm�rn� a
nevazk�. Pokud nejsou p��tomny plochy nespojitosti, lze proud�n�
tekutiny popsat z�kony zachov�n� hmoty, hybnosti a energie v
diferenci�ln�m tvaru:
\begin{equation}
\label{eukont}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial
x}=0,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{euhyb}
\frac{\partial (\rho v)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho v^2+p)}{\partial
x}=0,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial (\rho \frac{v^2}{ 2}+\rho u)}{\partial t}+\frac{\partial v (\rho
\frac{v^2}{ 2}+\rho u+p)}{\partial x}=0,
\label{euen}
\end{equation}
kde $v$ je \label{pok} rychlost a $p(\rho,u)$ je tlak vyj�d�en� jako funkce 
hustoty $\rho$ a vnit�n� energie jednotkov� hmotnosti tekutiny $u$. Tento tvar
pohybov�ch
rovnic je v�hodn� z numerick�ho hlediska, proto�e v p��pad� pou�it�
konzervativn�ho numerick�ho sch�matu, se hmota, energie a hybnost bude
zachov�vat. Snadno se p�esv�d��me, �e tyto rovnice lze napsat ve tvaru:
\begin{equation}
\frac{\partial \mathbf{U}}{ \partial t}+\frac{\partial \mathbf{F}}{
\partial x} = {\mathbf{H}},
\label{hypsys}
\end{equation}
kde
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccc}
 U_1 &= & \rho &\hspace{1cm}&   F_1 &= & U_2 \\
 U_2 &= & \rho v&\hspace{1cm}&   F_2 &= & \frac{U_2^2}{ U_1} + 
p\left(U_1,\frac{U_3}{ U_1}-\frac{U_2^2}{ 2 U_1^2}\right)  \\
 U_3 &= & \rho \frac{v^2}{2}+\rho u &\hspace{1cm}&   F_3 &=&\frac{U_2}{
 U_1}\left[U_3+p\left(U_1,\frac{U_3}{ U_1}-\frac{U_2^2}{
2 U_1^2}\right)\right]
\end{array}
\end{displaymath}
\vspace{1cm}
Jacobiho matice soustavy $\partial F_i/\partial U_j$ je
\begin{equation}
{\mathbf{J}}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0                                                    \\
& & \\
-v^2+\frac{\partial p }{ \partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial p }{
\partial u}\left(\frac{v^2}{ 2} - u\right) & v\left(2-\frac{1}{\rho}
\frac{\partial p }{ \partial u}\right) & \frac{1}{\rho}
\frac{\partial p }{ \partial u}                                   \\
& & \\
-v\left(\frac{v^2}{ 2}+u+\frac{p}{\rho}\right)+ & \frac{v^2}{ 2}+u+
\frac{p}{ \rho} -
\frac{v^2}{\rho}\frac{\partial p }{ \partial u} & v\left(1+\frac{1}{\rho}
\frac{\partial p }{ \partial u}\right) \\
+v\left[\frac{\partial p }{
\partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial p }{\partial u}\left(\frac{v^2}{
2}-u\right)\right]
\end{array}
\right)
\end{equation}
Vlastn� ��sla t�to matice jsou $v$,$v+c$ a $v-c$, kde rychlost zvuku
\begin{equation}
c=\sqrt{\frac{p}{\rho^2}\frac{\partial p}{ \partial u}+
\frac{\partial p}{\partial \rho}}=\sqrt\frac{\partial \tilde p}{
\partial\rho},
\end{equation}
kde $\tilde p$ je vyj�d�en� tlaku pomoc� hustoty a entropie jednotkov�
hmotnosti definovan� vztahem
\begin{equation}
\tilde p(\rho,s)\equiv p(\rho,u).
\end{equation}
Zde $s$ je entropie jednotkov� hmotnosti tekutiny.
V p��pad� homoentropick�ho proudu $s=s_0=konst$ lze tlak $p$ vyj�d�it jako
funkci pouze $\rho$ (z izoentropy). Rovnice (\ref{eukont}) a (\ref{euhyb}) 
pak ji� tvo�� uzav�enou soustavu a t�et� rovnici lze vynechat. Tyto rovnice 
lze p�ev�st do diagon�ln�ho tvaru (viz. nap�. \cite{Stanjukovich55})
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\left(v\underline{+}\int c\
d\ln\rho\right)+(v\underline{+}c)
\frac{\partial}{\partial x}\left(v\underline{+}\int c\
d\ln\rho\right)=0,
\end{equation}
kde $c$ je funkc� pouze $\rho$. Veli�iny $\alpha=v+\int c\ d\ln\rho$ a
$\beta=v-\int c\ d\ln\rho$ se naz�vaj� Riemannovy invarianty. D�le�it�
je p��pad, kdy jeden z t�chto invariant� je konstanta. Pak jedna rovnice
je identicky spln�na a situace se podstatn� zjednodu��. Nech� $v+\int c\ d\ln
\rho = \alpha_0$ je konstantn�. Zb�vaj�c� rovnice je
\begin{equation}\label{betainv}
\frac{\partial\beta}{\partial t}+(v-c)\frac{\partial\beta}{\partial
x}=0
\end{equation}
a rychlost je sv�z�na s hustotou vztahem
\begin{equation}\label{rychlzinv}
v=\alpha_0-\int c\ d\ln\rho .
\end{equation}


\section{Proud�n� v r�zov� trubici}
P�esto�e i jednorozm�rn� proud�n� je m�lokdy analyticky vy�e�eno,
je �e�en� Riemannova probl�mu zn�mo, co� m� velk� v�znam pro orientaci.
Toto �e�en� je pops�no na n�sleduj�c�ch ��dc�ch.

\begin{figure}[!h]
%\begin{figure}[h]
%\begin{figure}[p]
% N�sleduje vytvo�en� jednoduch�ho obr�zku v prost�ed� picture.
% Pokud v�s nezaj�m� prost�ed� picture, nemus�te si ho v��mat.
% Pokud nem�te ve va�� distribuci bal�k soubor epic.sty, pak ��dek 
% \input{obr.tex} zakomentujte.
\begin{center}
\input{obr.tex}
\end{center}
\caption{Rozlo�en� hustoty v r�zov� trubici po protrhnut� membr�ny}
\label{protrh}
\end{figure}

\begin{table}[!h]
%\begin{table}[h]
%\begin{table}[p]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c||}\hline
l�tka & rozsah pro B' [K] & rozsah pro C' [K]\\ \hline
Voda &373--473&473--598\\
Methanol &298--423&423--498\\
�pavek &273--396 &------ \\
Chloroform &316--398 &------ \\
Tetrachlormethan &318--350 &353--419 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\refstepcounter{table}
\label{rozsahy}
TABULKA~\ref{rozsahy}:\hspace{1ex}\parbox[t]{.7\linewidth}{
Teplotn� rozsahy experiment�ln�ch dat z \cite{Dymond80} pou�it� p�i
tvorb� funkc� fituj�c�ch druh� resp. t�et� viri�ln� koeficient.}

\addcontentsline{lot}{table}{\numberline{\ref{rozsahy}}\ignorespaces Teplotni 
rozsahy poprv�.}

%\parbox[vertik�ln� um�st�n�][v��ka][um�st�n� obsahu]{���ka}{obsah}
%\caption{Teplotn� rozsahy experiment�ln�ch dat z \cite{Dymond80} pou�it� p�i
%tvorb� funkc� fituj�c�ch druh� resp. t�et� viri�ln� koeficient.}
\end{table}

M�jme situaci, kdy po��te�n� podm�nky jsou homogenn� pro $x > 0$ i
pro $x < 0$. V obou ��stech nech� jsou dokonal� plyny, kter� jsou obecn�
r�zn� s r�zn�m tlakem i teplotou. Tlak nalevo nech� je v�t�� ne� tlak
napravo. Pak dojde k vytvo�en� r�zov� vlny napravo a expanzn� vlny nalevo, 
jak je zn�zorn�no na obr�zku~\ref{protrh}. 

%\newpage
\chapter*{Dodatek}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Dodatek}
\section*{Materi�lov� vlastnosti pou�it� k v�po�t�m}
\addcontentsline{toc}{section}{Materi�lov� vlastnosti pou�it� k v�po�t�m}
\begin{table}
%\begin{table}[p]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
l�tka & rozsah pro B' [K] & rozsah pro C' [K]\\ \hline
Methanol &298--423&423--498\\
�pavek &273--396 &------ \\
Chloroform &316--398 &------ \\
Tetrachlormethan &318--350 &353--419 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Teplotn� rozsahy experiment�ln�ch dat z \cite{Dymond80} pou�it� p�i
tvorb� funkc� fituj�c�ch druh� resp. t�et� viri�ln� koeficient.}
\end{table}
%\vspace{0.5cm}
\begin{equation}
%$$\frac{B'p_c}{RT_c}=f_0(T_r)+\omega f_1(T_r) \eqno(A.1),$$
\frac{B'p_c}{RT_c}=f_0(T_r)+\omega f_1(T_r),
\end{equation}
kde
\begin{displaymath}
f_0(T_r)=0.1445-\frac{0.330}{T_r}-\frac{0.1385}{T_r^2}-\frac{0.0121}{T_r^3}
-\frac{0.000607}{T_r^8},
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
f_1(T_r)=0.0637-\frac{0.331}{T_r^2}-\frac{0.423}{T_r^3}-\frac{0.008}{T_r^8}.
\end{displaymath}
% S
\vspace{0.5cm}
%\begin{equation}
$$\frac{B'p_c}{RT_c}=\frac{9}{128}\left(1-\frac{6}{T_r^2}\right)-
aT_re^\frac{b}{T}\eqno(A.2)$$
%\end{equation}
\hrulefill

%\underbar{JAK JE UKAZANO V ODSTAVCI \ref{NECO} na strane \pageref{NECO}}
\underbar{TOTO JE POKUSN� ODKAZ: prvn� ��dek hned za rovnic� \ref{euen}} 

\underbar{je v odstavci \ref{pok} na stran� \pageref{pok}.} 

\noindent\hrulefill

\addcontentsline{toc}{chapter}{Literatura}
\bibliography{liter}
\bibliographystyle{unsrt}
\end{document}

