% Tento dokument je napsn v kdovn bratr Kamenickch. %\documentclass[11pt,a4paper]{report} \documentclass[twoside,11pt,a4paper]{report} \usepackage{czech} \renewcommand{\figurename}{Obr.} \usepackage{epic} % Je poteba pro nakreslen obrzku v prosted picture. % neumouje libovoln sklony seek - pkaz \drawline % si s tm porad tak, e seku slo z mech seek % s monmi sklony %\usepackage{eepic} % Pro zven kvality obrzku z prosted picture je teba % pidat jet tento balk. Po odkomentovn tohoto dku % jsou tmto balkem nkter pkazy pedefinovny, co % umon nap. libovoln sklony seek. Zad se to % vloenm vhodnch pkaz postscriptu do dvi % souboru - nen jist, zda si s tm v prohle nebo % tiskov filtr porad - zda bude tyto elementy sprvn % interpretovat. V ppad pot pak pome transformace % takovhoto dvi souboru do postscriptu. \pagestyle{plain} \marginparwidth=2.5cm \marginparsep=1cm \begin{document} \hyphenation{zdiskre-ti-zu-je-me Gyar-mathy termo-dy-na-mic-k} \vspace{1cm} {\Large\bfseries \begin{center} stav termomechaniky AV R v Praze \vspace{3cm} Ing. Hjhshj Plkkjlk \vspace{2cm} {\Huge\bfseries Kinetika fzovho pechodu pra--kapalina a jej numerick simulace} \vspace{2cm} 39--02--9 Termomechanika a mechanika tekutin \vspace{1.5cm} Kandidtsk disertan prce \vspace{1.5cm} kolitel:\ \ \ doc. Ing. Jsdlkjh Hjshhj, DrSc. \vspace{2.5cm} Praha\ 1996 \end{center} } \thispagestyle{empty} \newpage \pagenumbering{roman} \setcounter{page}{1} \tableofcontents \listoffigures \listoftables \newpage \pagenumbering{arabic} \setcounter{page}{1} \vspace{2em} \newpage \chapter*{Souhrn} \addcontentsline{toc}{chapter}{Souhrn} Je vytvoen jednoduch model povrchovho napt sfricky zakivenho povrchu a je ukzno, e jeho aplikace v Lotheho--Poundov modelu homogenn nukleace znan zmen dvj nesoulad tohoto modelu s experimentlnmi vsledky pro pevn polrn ltky. Dle je sestaven systm rovnic popisujc proudn s homogenn kondenzac piem se respektuje skutenost, e v objemovm elementu tekutiny se mohou nalzat kapky rznch velikost. Dle je vytvoen kd pro simulaci jednorozmrnho proudn s homogenn kondenzac pi pouit modelu rstu kapky v piblen proudu volnch molekul a pi pouit Hillovy aproximace. Vsledky simulac jsou porovnny s vsledky experiment pro studium kondenzace na rzov trubici proveden v T AVR. Rozdly mezi vsledky simulac a experimentlnm vsledkem jsou diskutovny. \newpage \chapter*{Seznam symbol} \addcontentsline{toc}{chapter}{Seznam symbol} \begin{tabbing} %\marginpar{Toto je njak poznmka na okraji} \hspace{3.5cm}\= \hspace{3.5cm}\= \hspace{3.5cm} \kill $a_l $ \> $[m^2/s]$ \> teplotn difuzivita kapaliny\\ $B $ \> $[m^3/kg]$ \> druh viriln koeficient\\ $\vec{b} $ \> $[N]$ \> objemov sla\\ $C $ \> $[m^3/kgPa] $ \> tet viriln koeficient\\ $c $ \> $ [m/s] $ \> rychlost zvuku\\ $cor $ \> $ [1] $ \> korekn faktor \\ \> \> povrchovho napt \end{tabbing} \vspace{1cm} \newpage \chapter*{vod} \addcontentsline{toc}{chapter}{vod} % Pokud bychom chtli njakou mezeru mezi odstavci v nsledujcm textu, % meme toho doshnout nap. odkomentovnm nsledujcho dku. %\parskip 5pt \section*{Pehled souasnho stavu} \addcontentsline{toc}{section}{Pehled souasnho stavu} Homogenn kondenzace se skld ze dvou charakteristickch stdi -- homogenn nukleace a rstu kapky. Model rstu kapky (alespo v ppad, kdy kondenzuje jen jedna ltka) je pomrn dobe propracovn \marginpar[Toto je njak poznmka na okraji k tomuto textu $\rightarrow$]{ Toto je njak poznmka na okraji k tomuto textu $\leftarrow$} \cite{Gyarmathyinmulti82} a nen bezprostednm clem naeho zkoumn. Teoreticky zajmavjm je stdium nukleace. Je to tvoen velmi malch kapek -- zrodk -- nuklej. Tyto zrodky maj velkou pravdpodobnost, e dle porostou a jejich poet a velikosti jsou klov pro cel proces kondenzace. V jednotce objemu se za jednotku asu vytvo jist mnostv tchto zrodk, kter se nazv nuklean rychlost. Jedn se o stdium, kdy hrajou roli individuln vlastnosti molekul, kontinuln popis \uv{ltky}, z n se zrodek sestv, pestv bt adekvtn a objevuj se rzn, v mnoha otzkch navzjem se rozchzejc teorie. Nuklean rychlost zvis na podmnkch (tlaku a teplot) a na ltkovch vlastnostech. Typickm znakem souasnch nukleanch teori je snaha vystait s makroskopicky dobe mitelnmi vlastnostmi -- nap. makroskopickou hustotou, kivkou nasycench par a povrchovm naptm. Historicky nejstar je tzv. klasick teorie nukleace, jej vznik je spojen se jmny Becker, D\"oring, Zeldovi a Frenkel. Tato teorie obstla pi kvantitativnm popisu nuklean rychlosti vody. V ppad nepolrnch ltek je vak souhlas s experimentem zcela neuspokojiv. Pozdji se vyskytly vn nmitky proti jej konzistentnosti se statistickou termodynamikou a vznikly teorie kter jsou se statistickou termodynamikou konzistentnj. Jedn se nap. o \makebox{Lotheho--Poundovu} % aby se nm to nerozdlilo teorii nukleace \cite{Lothe62} nebo teorii zaloenou na Fisherov modelu voln enerie klastr \cite{Kiang71}. Nedvno se objevil pokus o \uv{npravu} mnoha rozpor klasick teorie nukleace jej mrnou modifikac \cite{Girshick90}. V posledn dob se objevily prce, kter se opraj o Fisherv vraz pro volnou klastru s povrchovm naptm zvislm na velikosti klastru \cite{Dillmann91,Kalikmanov95}. Avak ani tyto konzistentnj teorie nepopisuj uspokojiv nukleaci souasn polrnch i nepolrnch ltek. Tyto dvody neustle iniciuj dal experimentln i teoretick vzkum homogenn nukleace. Podrobn vklad nejdleitjch nukleanch teori bude uveden ve druh kapitole s jistm drazem na historick souvislosti. \section*{Cl prce} \addcontentsline{toc}{section}{Cl prce} \marginpar[Toto je njak poznmka na okraji k tomuto textu $\rightarrow$]{ Toto je njak poznmka na okraji k tomuto textu $\leftarrow$} Clem tto prce je: \begin{itemize} \item prohloubit znalosti o podstat fzovho pechodu \makebox{plyn--kapalina} na mikroskopick rovni \item sestaven systmu rovnic, kter dostaten pesn popisuje chovn systmu s proudnm a kondenzac pro ely studia kondenzace pomoc rzov trubice. Tento systm mus bt pitom stle eiteln souasnmi vpoetnmi prostedky (alespo pro ppady jednodimenzionlnho a dvoudimenzionlnho proudn) \item vytvoen spolehlivho potaovho programu pro ppad jednodimenzionlnho proudn, kter by ml slouit pro lep zen experiment na rzov trubici provdn v souasn dob v T AVR a srovnnm namench a vypotench hodnot umonit verifikaci rznch fyziklnch model kondenzace, pedevm pak jeho dleit fze -- nukleace. \end{itemize} \newpage \chapter{Jednorozmrn proudn nevazk homogenn tekutiny} \label{prvnikap} \section{Bilann rovnice} Proudn v rzov trubici meme asto s dobrou aproximac povaovat za jednorozmrn a nevazk. Pokud nejsou ptomny plochy nespojitosti, lze proudn tekutiny popsat zkony zachovn hmoty, hybnosti a energie v diferencilnm tvaru: \begin{equation} \label{eukont} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial x}=0, \end{equation} \begin{equation} \label{euhyb} \frac{\partial (\rho v)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho v^2+p)}{\partial x}=0, \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial (\rho \frac{v^2}{ 2}+\rho u)}{\partial t}+\frac{\partial v (\rho \frac{v^2}{ 2}+\rho u+p)}{\partial x}=0, \label{euen} \end{equation} kde $v$ je \label{pok} rychlost a $p(\rho,u)$ je tlak vyjden jako funkce hustoty $\rho$ a vnitn energie jednotkov hmotnosti tekutiny $u$. Tento tvar pohybovch rovnic je vhodn z numerickho hlediska, protoe v ppad pouit konzervativnho numerickho schmatu, se hmota, energie a hybnost bude zachovvat. Snadno se pesvdme, e tyto rovnice lze napsat ve tvaru: \begin{equation} \frac{\partial \mathbf{U}}{ \partial t}+\frac{\partial \mathbf{F}}{ \partial x} = {\mathbf{H}}, \label{hypsys} \end{equation} kde \begin{displaymath} \begin{array}{ccccccc} U_1 &= & \rho &\hspace{1cm}& F_1 &= & U_2 \\ U_2 &= & \rho v&\hspace{1cm}& F_2 &= & \frac{U_2^2}{ U_1} + p\left(U_1,\frac{U_3}{ U_1}-\frac{U_2^2}{ 2 U_1^2}\right) \\ U_3 &= & \rho \frac{v^2}{2}+\rho u &\hspace{1cm}& F_3 &=&\frac{U_2}{ U_1}\left[U_3+p\left(U_1,\frac{U_3}{ U_1}-\frac{U_2^2}{ 2 U_1^2}\right)\right] \end{array} \end{displaymath} \vspace{1cm} Jacobiho matice soustavy $\partial F_i/\partial U_j$ je \begin{equation} {\mathbf{J}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ & & \\ -v^2+\frac{\partial p }{ \partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial p }{ \partial u}\left(\frac{v^2}{ 2} - u\right) & v\left(2-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p }{ \partial u}\right) & \frac{1}{\rho} \frac{\partial p }{ \partial u} \\ & & \\ -v\left(\frac{v^2}{ 2}+u+\frac{p}{\rho}\right)+ & \frac{v^2}{ 2}+u+ \frac{p}{ \rho} - \frac{v^2}{\rho}\frac{\partial p }{ \partial u} & v\left(1+\frac{1}{\rho} \frac{\partial p }{ \partial u}\right) \\ +v\left[\frac{\partial p }{ \partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial p }{\partial u}\left(\frac{v^2}{ 2}-u\right)\right] \end{array} \right) \end{equation} Vlastn sla tto matice jsou $v$,$v+c$ a $v-c$, kde rychlost zvuku \begin{equation} c=\sqrt{\frac{p}{\rho^2}\frac{\partial p}{ \partial u}+ \frac{\partial p}{\partial \rho}}=\sqrt\frac{\partial \tilde p}{ \partial\rho}, \end{equation} kde $\tilde p$ je vyjden tlaku pomoc hustoty a entropie jednotkov hmotnosti definovan vztahem \begin{equation} \tilde p(\rho,s)\equiv p(\rho,u). \end{equation} Zde $s$ je entropie jednotkov hmotnosti tekutiny. V ppad homoentropickho proudu $s=s_0=konst$ lze tlak $p$ vyjdit jako funkci pouze $\rho$ (z izoentropy). Rovnice (\ref{eukont}) a (\ref{euhyb}) pak ji tvo uzavenou soustavu a tet rovnici lze vynechat. Tyto rovnice lze pevst do diagonlnho tvaru (viz. nap. \cite{Stanjukovich55}) \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\left(v\underline{+}\int c\ d\ln\rho\right)+(v\underline{+}c) \frac{\partial}{\partial x}\left(v\underline{+}\int c\ d\ln\rho\right)=0, \end{equation} kde $c$ je funkc pouze $\rho$. Veliiny $\alpha=v+\int c\ d\ln\rho$ a $\beta=v-\int c\ d\ln\rho$ se nazvaj Riemannovy invarianty. Dleit je ppad, kdy jeden z tchto invariant je konstanta. Pak jedna rovnice je identicky splnna a situace se podstatn zjednodu. Nech $v+\int c\ d\ln \rho = \alpha_0$ je konstantn. Zbvajc rovnice je \begin{equation}\label{betainv} \frac{\partial\beta}{\partial t}+(v-c)\frac{\partial\beta}{\partial x}=0 \end{equation} a rychlost je svzna s hustotou vztahem \begin{equation}\label{rychlzinv} v=\alpha_0-\int c\ d\ln\rho . \end{equation} \section{Proudn v rzov trubici} Pestoe i jednorozmrn proudn je mlokdy analyticky vyeeno, je een Riemannova problmu znmo, co m velk vznam pro orientaci. Toto een je popsno na nsledujcch dcch. \begin{figure}[!h] %\begin{figure}[h] %\begin{figure}[p] % Nsleduje vytvoen jednoduchho obrzku v prosted picture. % Pokud vs nezajm prosted picture, nemuste si ho vmat. % Pokud nemte ve va distribuci balk soubor epic.sty, pak dek % \input{obr.tex} zakomentujte. \begin{center} \input{obr.tex} \end{center} \caption{Rozloen hustoty v rzov trubici po protrhnut membrny} \label{protrh} \end{figure} \begin{table}[!h] %\begin{table}[h] %\begin{table}[p] \begin{center} \begin{tabular}{||c|c|c||}\hline ltka & rozsah pro B' [K] & rozsah pro C' [K]\\ \hline Voda &373--473&473--598\\ Methanol &298--423&423--498\\ pavek &273--396 &------ \\ Chloroform &316--398 &------ \\ Tetrachlormethan &318--350 &353--419 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \refstepcounter{table} \label{rozsahy} TABULKA~\ref{rozsahy}:\hspace{1ex}\parbox[t]{.7\linewidth}{ Teplotn rozsahy experimentlnch dat z \cite{Dymond80} pouit pi tvorb funkc fitujcch druh resp. tet viriln koeficient.} \addcontentsline{lot}{table}{\numberline{\ref{rozsahy}}\ignorespaces Teplotni rozsahy poprv.} %\parbox[vertikln umstn][vka][umstn obsahu]{ka}{obsah} %\caption{Teplotn rozsahy experimentlnch dat z \cite{Dymond80} pouit pi %tvorb funkc fitujcch druh resp. tet viriln koeficient.} \end{table} Mjme situaci, kdy poten podmnky jsou homogenn pro $x > 0$ i pro $x < 0$. V obou stech nech jsou dokonal plyny, kter jsou obecn rzn s rznm tlakem i teplotou. Tlak nalevo nech je vt ne tlak napravo. Pak dojde k vytvoen rzov vlny napravo a expanzn vlny nalevo, jak je znzornno na obrzku~\ref{protrh}. %\newpage \chapter*{Dodatek} \addcontentsline{toc}{chapter}{Dodatek} \section*{Materilov vlastnosti pouit k vpotm} \addcontentsline{toc}{section}{Materilov vlastnosti pouit k vpotm} \begin{table} %\begin{table}[p] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline ltka & rozsah pro B' [K] & rozsah pro C' [K]\\ \hline Methanol &298--423&423--498\\ pavek &273--396 &------ \\ Chloroform &316--398 &------ \\ Tetrachlormethan &318--350 &353--419 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Teplotn rozsahy experimentlnch dat z \cite{Dymond80} pouit pi tvorb funkc fitujcch druh resp. tet viriln koeficient.} \end{table} %\vspace{0.5cm} \begin{equation} %$$\frac{B'p_c}{RT_c}=f_0(T_r)+\omega f_1(T_r) \eqno(A.1),$$ \frac{B'p_c}{RT_c}=f_0(T_r)+\omega f_1(T_r), \end{equation} kde \begin{displaymath} f_0(T_r)=0.1445-\frac{0.330}{T_r}-\frac{0.1385}{T_r^2}-\frac{0.0121}{T_r^3} -\frac{0.000607}{T_r^8}, \end{displaymath} \begin{displaymath} f_1(T_r)=0.0637-\frac{0.331}{T_r^2}-\frac{0.423}{T_r^3}-\frac{0.008}{T_r^8}. \end{displaymath} % S \vspace{0.5cm} %\begin{equation} $$\frac{B'p_c}{RT_c}=\frac{9}{128}\left(1-\frac{6}{T_r^2}\right)- aT_re^\frac{b}{T}\eqno(A.2)$$ %\end{equation} \hrulefill %\underbar{JAK JE UKAZANO V ODSTAVCI \ref{NECO} na strane \pageref{NECO}} \underbar{TOTO JE POKUSN ODKAZ: prvn dek hned za rovnic \ref{euen}} \underbar{je v odstavci \ref{pok} na stran \pageref{pok}.} \noindent\hrulefill \addcontentsline{toc}{chapter}{Literatura} \bibliography{liter} \bibliographystyle{unsrt} \end{document}