% Tento dokument je napsn v kdovn bratr Kamenickch. %\documentclass[11pt,twocolumn,a4paper]{article} \documentclass[twocolumn,a4paper]{article} %\documentclass[a4paper]{article} % Sloitj vzorce ve zdrojov form se mohou zdt ponkud neiteln. To je % sice do znan mry pravda, ale pi dodren sprvnho postupu - postupnm % zahuovnm se pesto vytvej lehce. Nap. nsledujc vzorec % \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{\frac{e}{f}+\frac{g}{h}} % nen pli iteln, vznikl vak nsledujcm transparentnm zpsobem: % 1. \frac{}{} % 2. \frac{\frac{}{}+\frac{}{}}{} % 3. \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{} % 4. \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{\frac{}{}+\frac{}{}} % 5. \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{\frac{e}{f}+\frac{g}{h}} \usepackage{czech} \pagestyle{headings} \title{\bfseries Kinetika fzovho pechodu pra--kapalina a jej numerick simulace} %\author{Hjshj Rwlhh\footnote{stav termomechaniky AVR}, %Hjshj Rwlhh\footnote{stav termomechaniky AVR}, %Hjshj Rwlhh\footnote{stav termomechaniky AVR}, %Hjshj Rwlhh\footnote{stav termomechaniky AVR} a %Hjshj Rwlhh\footnote{stav termomechaniky AVR}} % Pedchoz vygeneruje autory s odkazy na n pod arou. V ppad, e nm % pedchoz nevyhovuje, meme msto toho pst nap.: \author{Hjshj Rwlhh$^\dagger$, Hjshj Rwlhh$^\ddagger$\\ \\ $^\dagger$ stav termomechaniky AVR\\ $^\ddagger$ stav termomechaniky AVR \vspace{0.5cm} } %\date{} % V ppad, e nechcete datum, pak odkomentujte tento dek. \columnseprule=5sp \begin{document} \hyphenation{zdiskre-ti-zu-je-me Gyar-mathy termo-dy-na-mic-k} \maketitle \listoftables % pid seznam tabulek s sly strnek, na kterch se tabulky % nachzej; pi prci se me stt, e sla strnek nebudou % souhlasit - je to tm, e probhl jen jeden peklad po % pekladu souboru s jinm rozmstnm tabulek - pro sla % strnek se tedy pouil star pomocn soubor .aux (podvejte % se v tomto ppad do hlkovho souboru .log - na jeho % konec). Nov pomocn soubor .aux se u sice vygeneroval ale % jet se neopouil - je poteba provst peklad jet jednou. \begin{abstract} Je vytvoen jednoduch model povrchovho napt sfricky zakivenho povrchu a je ukzno, e jeho aplikace v Lotheho--Poundov modelu homogenn nukleace znan zmen dvj nesoulad tohoto modelu s experimentlnmi vsledky pro pevn polrn ltky. Dle je sestaven systm rovnic popisujc proudn s homogenn kondenzac piem se respektuje skutenost, e v objemovm elementu tekutiny se mohou nalzat kapky rznch velikost. Dle je vytvoen kd pro simulaci jednorozmrnho proudn s homogenn kondenzac pi pouit modelu rstu kapky v piblen proudu volnch molekul a pi pouit Hillovy aproximace. Vsledky simulac jsou porovnny s vsledky experiment pro studium kondenzace na rzov trubici proveden v T AVR. Rozdly mezi vsledky simulac a experimentlnm vsledkem jsou diskutovny. \end{abstract} %\enlargethispage*{2mm} % Pokud by v prvnm sloupci ve dvousloupcovm reimu % vznikla (po rznch modifikacch) nepjemn % vertikln mezera, pak odkomentujte a ppadn % modifikujte tento pkaz. \section*{Pehled souasnho stavu} % kvli hvzdice neovlivn ta sekc Homogenn kondenzace se skld ze dvou charakteristickch stdi -- homogenn nukleace a rstu kapky. Model rstu kapky (alespo v ppad, kdy kondenzuje jen jedna ltka) je pomrn dobe propracovn \cite{Gyarmathyinmulti82} a nen bezprostednm clem naeho zkoumn. \par % nebo jen przdn dek Teoreticky zajmavjm je stdium nukleace. Je to tvoen velmi malch kapek -- zrodk -- nuklej. Tyto zrodky maj velkou pravdpodobnost, e dle porostou a jejich poet a velikosti jsou klov pro cel proces kondenzace. V jednotce objemu se za jednotku asu vytvo jist mnostv tchto zrodk, kter se nazv nuklean rychlost. Jedn se o stdium, kdy hrajou roli individuln vlastnosti molekul, kontinuln popis \uv{ltky}, z n se zrodek sestv, pestv bt adekvtn a objevuj se rzn, v mnoha otzkch navzjem se rozchzejc teorie\footnote{prvn poznmka}. Nuklean rychlost zvis na podmnkch (tlaku a teplot) a na ltkovch vlastnostech. Typickm znakem souasnch nukleanch teori je snaha vystait s makroskopicky dobe mitelnmi vlastnostmi -- nap. makroskopickou hustotou, kivkou nasycench par a povrchovm naptm. Historicky nejstar je tzv. klasick teorie nukleace, jej vznik je spojen se jmny Becker, D\"oring, Zeldovi a Frenkel. Tato teorie obstla pi kvantitativnm popisu nuklean rychlosti vody. V ppad nepolrnch ltek je vak souhlas s experimentem zcela neuspokojiv\footnote{druh poznmka}. Pozdji se vyskytly vn nmitky proti jej konzistentnosti se statistickou termodynamikou a vznikly teorie kter jsou se statistickou termodynamikou konzistentnj\footnote[300]{tst poznmka}. Jedn se nap. o \makebox{Lotheho--Poundovu} % aby se nm to nerozdlilo teorii nukleace \cite{Lothe62} nebo teorii zaloenou na Fisherov modelu voln enerie klastr \cite{Kiang71}. Nedvno se objevil pokus o \uv{npravu} mnoha rozpor klasick teorie nukleace jej mrnou modifikac \cite{Girshick90}. V posledn dob se objevily prce, kter se opraj o Fisherv vraz pro volnou klastru s povrchovm naptm zvislm na velikosti klastru \cite{Dillmann91,Kalikmanov95}. Avak ani tyto konzistentnj teorie nepopisuj uspokojiv nukleaci souasn polrnch i nepolrnch ltek. Tyto dvody neustle iniciuj dal experimentln i teoretick vzkum homogenn nukleace. Podrobn vklad nejdleitjch nukleanch teori bude uveden ve druh kapitole s jistm drazem na historick souvislosti. %\section{Cl prce} % Tento pkaz by zpsobil, e prvn odstavec bude % slovan arabskou jednikou, piem se mezi slici % a nzev vlo urit mezera. Dejme tomu, e (bh v % pro) chceme, aby msto arabsk jedniky byla msk % jednika, a aby mezera byla jin. Pak pouijeme nap. % nsledujc sekvenci pkaz msto dku % \section{Cl prce}: \setcounter{section}{1} % to proto, aby jsme dali do podku slovn % sekc - hvzdikov verze toti nezvyuje ta % sekc a to by nm mohlo vadit (nebo teba i ne) \section*{I. Cl prce} Clem tto prce je: \begin{enumerate} \item prohloubit znalosti o podstat fzovho pechodu plyn--kapalina na mikroskopick rovni \item sestaven systmu rovnic, kter dostaten pesn popisuje chovn systmu s proudnm a kondenzac pro ely studia kondenzace pomoc rzov trubice. Tento systm mus bt pitom stle eiteln souasnmi vpoetnmi prostedky (alespo pro ppady jednodimenzionlnho a dvoudimenzionlnho proudn) \item vytvoen spolehlivho potaovho programu pro ppad jednodimenzionlnho proudn, kter by ml slouit pro lep zen experiment na rzov trubici provdn v souasn dob v T AVR a srovnnm namench a vypotench hodnot umonit verifikaci rznch fyziklnch model kondenzace, pedevm pak jeho dleit fze -- nukleace. \end{enumerate} %\hyphenation{polofenomenologick} \section{Fisherv polofenomenologick model klastr} Fisher vychz ve sv studii Helmholtzovy voln energie klastr z mkovho modelu plynu (Lattice Gas modelu). Mkov model plynu \cite{Baxter82} strun eeno modeluje reln plyn jako by molekuly mohly bt pouze v mkovch polohch jaksi pomysln mky, jej mkov konstanta odpovd hustot kapaln fze. Molekula bu me bt v uzlovm bodu mky ptomna nebo ne. Pedpokld se, e spolu interaguj jen sousedn molekuly (pokud jsou v pslunch mkovch bodech ptomny) a pedpokld se, e tato interakce je popsna jen konstantn interakn energi. Molekuly, kter jsou od sebe dle spolu neinteraguj. Numericky se d spotat stavov suma -- sumuje pes vechny mon konfigurace molekul a pspvky ke stavov sum odpovdajc rznm stavm v impulsovm prostoru se pi nekvantovm (pesnji eeno kvaziklasickm) popisu daj pevst na jednoduch integrl, kter se d z cel stavov sumy vytknout a snadno spotat. I kdy je tento model relnho plynu v podstat dost primitivn, pesto respektuje nejen rotan a translan stupn volnosti, ale i replacement free energy a vlastn i vechny mon tvary klastr! Fisher \cite{Fisher67} na zklad zkuennost z vpotu stavov sumy metodou Monte--Carlo navrhuje nsledujc tvar pro Helmholtzovu energii klastru \begin{equation}\label{2.48} F_i=if_\infty+\sigma s_1i^\eta +\tau kT \ln i-kT\ln \left(q_0 V\right) \end{equation} Vyuv \label{pok}dle pedstavy, e neideln plyn je vlastn sms idelnch \uv{plyn klastr} rznch velikost (Mayer conjecture \cite{Mayer40}) a pro celkov poet molekul v jednotce objemu $c$ a tlak $p_v$ plat \begin{equation}\label{2.49} c=\frac{1}{V}\sum_{i=1}^\infty i e^{-\frac{\Delta G(i)}{kT}}, \end{equation} \begin{equation}\label{2.50} p_v=\frac{kT}{V}\sum_{i=1}^\infty e^{-\frac{\Delta G(i)}{kT}}. \end{equation} Pedpokld, e tato pedstava je dobe pouiteln a do okol kritickho bodu. Provd dle analzu chovn spojen rovnic (x.33), (\ref{2.48}), (\ref{2.49}) a (\ref{2.50}) a pomoc teorie kritickch exponent ukazuje, e \begin{equation}\label{2.51} \delta=\frac{1}{\tau -2}, \end{equation} kde $\delta$ je koeficient z kritick izotermy \begin{equation}\label{2.52} p_c-p\sim \left(\rho_c-\rho\right)^\delta. \end{equation} $\rho$ je hustota a intex $c$ znamen hodnotu v kritickm bod. Z numerickch vsledk mu vychz \begin{equation}\label{2.53} \eta\sim 0.615 \sim 0.640,\qquad 2\frac{5}{26} < \tau < 2\frac{1}{5}. \end{equation} Van der Waalsova rovnice podle teorie kritickch exponent dv \cite{Fisher67} \begin{equation}\label{2.54} \eta=\frac{2}{3},\qquad \tau=2\frac{1}{3}. \end{equation} V kritickm bod podle (\ref{2.49}) (s vyuitm toho, e povrchov napt je v kritickm bod nulov a tlak je roven tlaku nasycench par) plat \begin{equation}\label{2.55} \rho_c=q_0\sum_{i=1}^\infty i^{1-\tau}. \end{equation} \begin{equation}\label{2.56} p_c=q_0kT\sum_{i=1}^\infty i^{-\tau}. \end{equation} ada (\ref{2.55}) je vlastn Riemannova funkce promnn $1-\tau$ a konverguje pro $\tau > 2$. Kiang \cite{Kiang70} z experimentlnch hodnot kritickho tlaku a hustoty (dv hodnoty) uruje ob konstanty $\tau$, $q_0$ pomoc spojen rovnic (\ref{2.55}) a (\ref{2.56}) . Ukazuje, e koeficient $\delta$ z rovnice (\ref{2.51}) souhlas velmi dobe s experimentln hodnotou pro nepolrn ltky. Kiang a dal \cite{Kiang71} pak navrhuj pout tohoto postupu uren $\tau$ a $q_0$ pro vpoet Gibbsovy energie tvorby klastru a pro vpoet nuklean rychlosti (podle kinetickho schmatu a aproximac, jako v klasick teorii) jak pro polrn, tak pro nepolrn ltky. \section{Dillmannv--Meierv model nukleace} Dillmann a Meier \cite{Dillmann91} navrhli vylepen vztahu (\ref{2.48}) tak, e povrchov napt se uvauje zvisl na potu molekul v klastru a navrhuj \begin{equation}\label{2.57} \sigma_i=\left(1+\alpha_1i^{-\frac{1}{3}}+\alpha_2i^{-\frac{2} {3}}\right)\sigma_\infty, \end{equation} kde $\sigma_\infty$ je povrchov napt rovnho povrchu a $\alpha_1$, $\alpha_2$ jsou funkce teploty. Podle (x.9), (x.34), (\ref{2.48}) a (\ref{2.49}) lze pro mal tlaky pro kvazirovnovn rozdlen pst \begin{table*} \begin{center} \begin{tabular}{||c|c|c||}\hline ltka & rozsah pro B' [K] & rozsah pro C' [K]\\ \hline Voda &373--473&473--598\\ Methanol &298--423&423--498\\ pavek &273--396 &------ \\ Chloroform &316--398 &------ \\ Tetrachlormethan &318--350 &353--419 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Teplotn rozsahy experimentlnch dat z \cite{Dymond80} pouit pi tvorb funkc fitujcch druh resp. tet viriln koeficient.} \end{table*} \begin{equation}\label{2.58} c=q_0\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{p_v} {p_{s\infty}}\right)^ie^{-\frac{\sigma_is_i}{kT}-(\tau-1)\ln i}. \end{equation} Z tto rovnice se d odvodit vztah mezi koreknm souinitelem pro povrchov napt klastru sestvajcho se z $i$ molekul podle definice \begin{equation}\label{2.59} \kappa_i\equiv\frac{\sigma_i}{\sigma_\infty} \end{equation} a derivac tlaku podle hustoty pi stl teplot a nulovm tlaku \begin{equation}\label{2.60} \kappa_i=-\frac{1}{\vartheta i^{2/3}}\ln\left[\frac{p_{s\infty}^i}{q_0} i^{\tau -1}{\frac{1}{i!}}\lim_{p\rightarrow 0} \left(\frac{\partial^ic}{\partial p^i}\right)_T\right], \end{equation} kde \begin{equation}\label{2.61} \vartheta=\frac{\sigma_\infty s_1}{kT} \end{equation} Derivace se daj urit z empirick virilov stavov rovnice \begin{equation}\label{2.62} \frac{p_v}{c}=kT+Bp_v+Cp_v^2+.... \end{equation} Po dosazen tchto derivac do (\ref{2.60}) se dostane \begin{equation}\label{2.63} \kappa_1=-\frac{1}{\vartheta}\ln\frac{p_{s\infty}}{q_0kT} \end{equation} a \begin{equation}\label{2.64} \kappa_2=-\frac{1}{2^\frac{2}{3}\vartheta}\ln\left[-\left( \frac{p_{s\infty}}{q_0kT}\right)^22^{\tau-1}q_0B\right]. \end{equation} Podmnkou (\ref{2.63}) je zaruen sprvn poet monomer pi nzkch tlacch. Koeficienty $\alpha_1$ a $\alpha_2$ se ur z podmnky, aby vztah (\ref{2.57}) dal sprvn hodnoty $\kappa_1$ a $\kappa_2$ \cite{Dillmann91}: \begin{equation}\label{2.65} \alpha_1=\frac{(\kappa_2-1)-(\kappa_1-1)2^{-\frac{2}{3}}}{2^{-\frac{1}{3} }-2^{-\frac{2}{3}}} \end{equation} a \begin{equation}\label{2.66} \alpha_2=-\frac{(\kappa_2-1)-(\kappa_1-1)2^{-\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{3} }-2^{-\frac{2}{3}}} \end{equation} Tm jsou oba koeficienty ve vrazu pro korekci povrchovho napt (\ref{2.57}) ureny z podmnky sprvnho potu monomer pi nzkch tlacch a druhho virilnho koeficientu $B$\footnote{S mylenkou modifikovat Kiangovu metodu zmnou povrchovho napt urenou z druhho virilnho koeficientu (avak nepli dokonalou) piel ji dve Hamill a dal \cite{Hamill74}}. Analogickm postupem, jako v Kiangov metod (jedin rozdl je vlastn jen v aplikaci korekce povrchovho napt) se pak pouitm klasickch aproximac kinetiky, kter vedly ke vztahu (x.20), dostane (viz. \cite{Dillmann91}) %\begin{equation}\label{2.67} \begin{eqnarray}\label{2.67} J=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{\vartheta}{\pi}\left(1+\alpha_1{i^*}^{-\frac{1} {3}}+\frac{9\tau}{2\vartheta}{i^*}^{-\frac{2}{3}}\right)}\times & \nonumber \\ \times\frac{s_1p_v}{\sqrt{2\pi m_1kT}}e^{-\frac{\Delta^*}{kT}}, % Pokud bychom to udlali jako pouh equation (tedy bez tabultor &), pak by % se ve dvousloupcovem reimu rovnice nevela do strnky. \end{eqnarray} %\end{equation} piem poet molekul v kritickm klastru $i^*$ je uren relnm koenem kubick rovnice \begin{equation}\label{2.68} \tau x^3+\frac{1}{3}\alpha_1\vartheta x^2+\frac{2}{3}\vartheta x-\ln\frac{p_v}{p_{s\infty}}=0, \end{equation} kde \begin{equation}\label{2.69} x={i^*}^{-\frac{1}{3}}. \end{equation} Veliina $\Delta^*$ je pomoc Gibbsovy energie tvorby kritickho klastru $\Delta G^*$ ((2.34) pro $i=i^*$ a $F_i$ je dno vztahem (\ref{2.48})) definovna nsledujcm vztahem \begin{equation} c(i^*)=\frac{1}{V}e^{-\frac{\Delta G^*}{kT}}=e^{-\frac{\Delta^*}{kT}}, \end{equation} nebo--li \begin{equation}\label{deltashvezd} \Delta^*\equiv kT\ln V + \Delta G^* \end{equation} Tento model dv pi vych pesycench pro mnoho ltek realistitj hodnoty ne klasick model (x.23) \cite{Dillmann91}. V posledn dob se objevila kritika Dilmann--Meier modelu -- viz. nap. \cite{Laaksonen94}. Autoi ukazuj, e pedpoklad (x.9) zaloen na pedstav idelnho plynu, vede k velk chyb pi fitovn $\kappa_2$ na druh viriln koeficient a odvozuj korekci povrchovho napt bez tohoto pedpokladu. Finln vzorce pak vedou k podstat hormu souladu s experimentem, ne vzorce Dillmanna a Meiera. Je uiten si vimnout, e Dillmannova--Meierova metoda uren koreknch souinitel $\alpha_1$ a $\alpha_2$ vyaduje, aby pomrn mrn zvislost (\ref{2.57}) vystihovala korekci povrchovho napt (a tm Gibbsovu energii tvorby klastru) a do extrmn malch klastr (o jedn molekule), kde zejm pestv mt pojem povrchovho napt dobr smysl. To jestli je zvislost (\ref{2.57}) pouiteln pro takto mal klastry je podle mho nzoru velmi diskutabiln. \newlength{\puvmarginparwidth} \newlength{\puvmarginparsep} \setlength{\puvmarginparwidth}{\marginparwidth} % schovn pvodnch hodnot \setlength{\puvmarginparsep}{\marginparsep} \newlength{\odskok} \newlength{\delka} \newlength{\zvyseni} \setlength{\zvyseni}{-1.55cm} \setlength{\odskok}{2.5cm} \setlength{\delka}{\linewidth} \addtolength{\delka}{-\odskok} \parshape 6 0cm \linewidth 0cm \linewidth \odskok \delka \odskok \delka \odskok \delka 0cm \linewidth %\leftskip=1cm \noindent \marginparwidth=\odskok \marginparsep=-\linewidth \addtolength{\marginparsep}{\leftskip} \marginpar{\raisebox{\zvyseni}{\framebox{\LARGE Obrzek\rule{0cm}{.8cm}}}} TOTO je pokusn odstavec demonstrujc, jak lze pomoc TeXovskho pkazu \texttt{$\backslash$parshape}, pkazu \texttt{$\backslash$marginpar} a vhodnm nastavenm dlkovch registr \texttt{marginparwidth} a \texttt{marginparsep} doshnout \uv{vkousnut} objektu do textu ze strany. Je ovem poteba tak trochu manipulovat s posazenm objektu pomoc pkazu \texttt{$\backslash$raisebox}. Pokud jste soubor \texttt{art.tex} upravovali, je dost pravdpodobn, e poloha \uv{obrzku} nen v podku. Pak je poteba vhodn nastavit \texttt{marginparsep} a mon i parametr zven v pkazu \texttt{$\backslash$raisebox}. Pro pohodlnj prci je pro takovto ely uren specializovan balk \texttt{picinpar}. \setlength{\marginparwidth}{\puvmarginparwidth} \setlength{\marginparsep}{\puvmarginparsep} Nsleduje dal odstavec. Ze vzhledu je vidt, e \texttt{marginparsep} a \texttt{marginpar} \marginpar{pozn. na okraji} jsme nastavili na hodnoty platn ped pedchzejcm odstavcem. \appendix % Nsleduj appendixy. \section{Materilov vlastnosti pouit k vpotm poprv} %\begin{table*}[h] % Pokud tato tabulka bude na samostatn stnce, znamen to, % e LaTeX ji nedokzal vhodn umstit a zvolil proto toto % vdy mon (ale nepkn) een. \begin{table*} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline ltka & rozsah pro B' [K] & rozsah pro C' [K]\\ \hline Voda &373--473&473--598\\ Methanol &298--423&423--498\\ pavek &273--396 &------ \\ Chloroform &316--398 &------ \\ Tetrachlormethan &318--350 &353--419 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Teplotn rozsahy experimentlnch dat z \cite{Dymond80} pouit pi tvorb funkc fitujcch druh resp. tet viriln koeficient.} \end{table*} %\vspace{0.5cm} %\begin{equation} $$\frac{B'p_c}{RT_c}=f_0(T_r)+\omega f_1(T_r) \eqno(A.1),$$ %\end{equation} %%% Pozor na pedchoz ve View! kde %\begin{displaymath} \begin{eqnarray} f_0(T_r)=0.1445-\frac{0.330}{T_r}-\frac{0.1385}{T_r^2}- \frac{0.0121}{T_r^3}& \nonumber \\ -\frac{0.000607}{T_r^8}, \nonumber % Pokud bychom to udlali jako pouh equation (tedy bez tabultor &), pak by % se ve dvousloupcovem reimu rovnice nevela do strnky. \end{eqnarray} %\end{displaymath} \begin{displaymath} f_1(T_r)=0.0637-\frac{0.331}{T_r^2}-\frac{0.423}{T_r^3}-\frac{0.008}{T_r^8}. \end{displaymath} % S %\vspace{0.5cm} \begin{equation} \frac{B'p_c}{RT_c}=\frac{9}{128}\left(1-\frac{6}{T_r^2}\right)- aT_re^\frac{b}{T} \end{equation} \hrulefill TOTO JE POKUSN ODKAZ: prvn dek hned za rovnic \ref{2.48} je v odstavci \ref{pok} na stran \pageref{pok}. \noindent\hrulefill % nsleduje przdn dek (pechod na nov odstavec) % protoe jinak by ra vyla krat. \section{Materilov vlastnosti pouit k vpotm podruh} \begin{equation} \frac{B'p_c}{RT_c}=\frac{9}{128}\left(1-\frac{6}{T_r^2}\right)- aT_re^\frac{b}{T} \end{equation} \section*{Materilov vlastnosti pouit k vpotm potet} \begin{equation} \frac{B'p_c}{RT_c}=\frac{9}{128}\left(1-\frac{6}{T_r^2}\right)- aT_re^\frac{b}{T} \end{equation} \bibliography{liter} \bibliographystyle{unsrt} \end{document}