Ústav termomechaniky AV ČR v Praze

Ing. Hjhshj Plkkjlk

Kinetika fázového přechodu pára–kapalina a její numerická simulace

39–02–9 Termomechanika a mechanika tekutin

Kandidátská disertační práce

Školitel: doc. Ing. Jsdlkjh Hjshhj, DrSc.

Praha 1996

Obsah

Souhrn 1 Seznam symbolů 2 Úvod 3

Přehled současného stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cíl práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Jednorozměrné proudění nevazké homogenní tekutiny 5 1.1 Bilanční rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Proudění v rázové trubici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Dodatek 8

Materiálové vlastnosti použité k výpočtům . . . . . . . . . . . . . 8 Literatura 8

Seznam obrázků

1.1 Rozložení hustoty v rázové trubici po protrhnutí membrány . 7

Seznam tabulek

1.1 Teplotni rozsahy poprvé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Teplotní rozsahy experimentálních dat z [8] použité při tvorbě

funkcí fitujících druhý resp. třetí viriální koeficient. . . . . . . 8

Souhrn

Je vytvořen jednoduchý model povrchového napětí sféricky zakřiveného povrchu a je ukázáno, že jeho aplikace v Lotheho–Poundově modelu homogenní nukleace značně zmenší dřívější nesoulad tohoto modelu s experimentálními výsledky pro převážně polární látky. Dále je sestaven systém rovnic popisující proudění s homogenní kondenzací přičemž se respektuje skutečnost, že v objemovém elementu tekutiny se mohou nalézat kapky různých velikostí. Dále je vytvořen kód pro simulaci jednorozměrného proudění s homogenní kondenzací při použití modelu růstu kapky v přiblížení proudu volných molekul a při použití Hillovy aproximace. Výsledky simulací jsou porovnány s výsledky experimentů pro studium kondenzace na rázové trubici provedené v ÚT AVČR. Rozdíly mezi výsledky simulací a experimentálním výsledkem jsou diskutovány.

Seznam symbolů

a_{l}  [m^{2}/s]  teplotní difuzivita kapaliny
B  [m^{3}/kg]  druhý viriální koeficient
b⃗  [N]  objemová síla
C  [m^{3}/kgP a]  třetí viriální koeficient
c  [m/s]  rychlost zvuku
cor  [1]  korekční faktor

povrchového napětí

Úvod

Přehled současného stavu

Homogenní kondenzace se skládá ze dvou charakteristických stádií – homogenní nukleace a růstu kapky. Model růstu kapky (alespoň v případě, kdy kondenzuje jen jedna látka) je poměrně dobře propracován [1] a není Toto je nějaká

poznámka na okraji k tomuto textu ← bezprostředním cílem našeho zkoumání.

Teoreticky zajímavějším je stádium nukleace. Je to tvoření velmi malých kapek – zárodků – nuklejí. Tyto zárodky mají velkou pravděpodobnost, že dále porostou a jejich počet a velikosti jsou klíčové pro celý proces kondenzace. V jednotce objemu se za jednotku času vytvoří jisté množství těchto zárodků, které se nazývá nukleační rychlost. Jedná se o stádium, kdy hrajou roli individuální vlastnosti molekul, kontinuální popis ţlátky�, z níž se zárodek sestává, přestává být adekvátní a objevují se různé, v mnoha otázkách navzájem se rozcházející teorie. Nukleační rychlost závisí na podmínkách (tlaku a teplotě) a na látkových vlastnostech. Typickým znakem současných nukleačních teorií je snaha vystačit s makroskopicky dobře měřitelnými vlastnostmi – např. makroskopickou hustotou, křivkou nasycených par a povrchovým napětím. Historicky nejstarší je tzv. klasická teorie nukleace, jejíž vznik je spojen se jmény Becker, Döring, Zeldovič a Frenkel. Tato teorie obstála při kvantitativním popisu nukleační rychlosti vody. V případě nepolárních látek je však souhlas s experimentem zcela neuspokojivý. Později se vyskytly vážné námitky proti její konzistentnosti se statistickou termodynamikou a vznikly teorie které jsou se statistickou termodynamikou konzistentnější. Jedná se např. o Lotheho–Poundovu teorii nukleace [2] nebo teorii založenou na Fisherově modelu volné enerie klastrů [3]. Nedávno se objevil pokus o ţnápravu� mnoha rozporů klasické teorie nukleace její mírnou modifikací [4]. V poslední době se objevily práce, které se opírají o Fisherův výraz pro volnou klastru s povrchovým napětím závislým na velikosti klastru [5, 6]. Avšak ani tyto konzistentnější teorie nepopisují uspokojivě nukleaci současně polárních i nepolárních látek. Tyto důvody neustále iniciují další experimentální i teoretický výzkum homogenní nukleace. Podrobný výklad nejdůležitějších nukleačních teorií bude uveden ve druhé kapitole s jistým důrazem na historické souvislosti.

Cíl práce

Toto je nějaká poznámka na okraji k tomuto textu → Cílem této práce je:

• prohloubit znalosti o podstatě fázového přechodu plyn–kapalina na mikroskopické úrovni

• sestavení systému rovnic, který dostatečně přesně popisuje chování systému s prouděním a kondenzací pro účely studia kondenzace pomocí rázové trubice. Tento systém musí být přitom stále řešitelný současnými výpočetními prostředky (alespoň pro případy jednodimenzionálního a dvoudimenzionálního proudění)

• vytvoření spolehlivého počítačového programu pro případ jednodimenzionálního proudění, který by měl sloužit pro lepší řízení experimentů na rázové trubici prováděné v současné době v ÚT AVČR a srovnáním naměřených a vypočtených hodnot umožnit verifikaci různých fyzikálních modelů kondenzace, především pak jeho důležité fáze – nukleace.

Kapitola 1

Jednorozměrné proudění nevazké homogenní tekutiny

1.1 Bilanční rovnice

Proudění v rázové trubici můžeme často s dobrou aproximací považovat za jednorozměrné a nevazké. Pokud nejsou přítomny plochy nespojitosti, lze proudění tekutiny popsat zákony zachování hmoty, hybnosti a energie v diferenciálním tvaru:

\frac{∂ρ}{∂t} + \frac{∂(ρv)}{∂x} = 0,  (1.1)
\frac{∂(ρv)}{∂t} + \frac{∂(ρv^{2} + p)}{∂x} = 0,  (1.2)

\frac{∂(ρ\frac{v^{2}}{2} + ρu)}{∂t} + \frac{∂v(ρ\frac{v^{2}}{2} + ρu + p)}{∂x} = 0,  (1.3)

kde v je rychlost a p(ρ, u) je tlak vyjádřený jako funkce hustoty ρ a vnitřní energie jednotkové hmotnosti tekutiny u. Tento tvar pohybových rovnic je výhodný z numerického hlediska, protože v případě použití konzervativního numerického schématu, se hmota, energie a hybnost bude zachovávat. Snadno se přesvědčíme, že tyto rovnice lze napsat ve tvaru:

\frac{∂U}{∂t} + \frac{∂F}{∂x} = H,  (1.4)

kde

\begin{aligned}U_{1} & = & ρ & F_{1} & = & U_{2} \\ U_{2} & = & ρv & F_{2} & = & \frac{U_{2}^{2}}{U_{1}} + p (U_{1}, \frac{U_{3}}{U_{1}} − \frac{U_{2}^{2}}{2U_{1}^{2}} ) \\ U_{3} & = & ρ\frac{v^{2}}{2} + ρu & F_{3} & = & \frac{U_{2}}{U_{1}} [U_{3} + p (U_{1}, \frac{U_{3}}{U_{1}} − \frac{U_{2}^{2}}{2U_{1}^{2}} )] \end{aligned}

Jacobiho matice soustavy ∂F_{i}/∂U_{j} je

J = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −v^{2} + \frac{∂p}{∂ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂u} (\frac{v^{2}}{2} − u) & v (2 − \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂u}) & \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂u} \\ −v (\frac{v^{2}}{2} + u + \frac{p}{ρ}) + & \frac{v^{2}}{2} + u + \frac{p}{ρ} − \frac{v^{2}}{ρ} \frac{∂p}{∂u} & v (1 + \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂u}) \\ +v [\frac{∂p}{∂ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂u} (\frac{v^{2}}{2} − u)] \end{matrix} )

(1.5)

Vlastní čísla této matice jsou v,v + c a v − c, kde rychlost zvuku

c = \sqrt{\frac{p}{ρ^{2}} \frac{∂p}{∂u} + \frac{∂p}{∂ρ}} = \sqrt{\frac{∂p̃}{∂ρ}},  (1.6)

kde p̃ je vyjádření tlaku pomocí hustoty a entropie jednotkové hmotnosti definované vztahem

p̃(ρ, s) ≡ p(ρ, u).  (1.7)

Zde s je entropie jednotkové hmotnosti tekutiny. V případě homoentropického proudu s = s_{0} = konst lze tlak p vyjádřit jako funkci pouze ρ (z izoentropy). Rovnice (1.1) a (1.2) pak již tvoří uzavřenou soustavu a třetí rovnici lze vynechat. Tyto rovnice lze převést do diagonálního tvaru (viz. např. [7])

\frac{∂}{∂t} (v\underline{+} ∫ c d lnρ) + (v\underline{+} c)\frac{∂}{∂x} (v\underline{+} ∫ c d lnρ) = 0,  (1.8)

kde c je funkcí pouze ρ. Veličiny α = v + ∫ c d lnρ a β = v − ∫ c d lnρ se nazývají Riemannovy invarianty. Důležitý je případ, kdy jeden z těchto invariantů je konstanta. Pak jedna rovnice je identicky splněna a situace se podstatně zjednoduší. Nechť v + ∫ c d lnρ = α_{0} je konstantní. Zbývající rovnice je

\frac{∂β}{∂t} + (v − c)\frac{∂β}{∂x} = 0  (1.9)

a rychlost je svázána s hustotou vztahem

v = α_{0} − ∫ c d lnρ.  (1.10)

1.2 Proudění v rázové trubici

Přestože i jednorozměrné proudění je málokdy analyticky vyřešeno, je řešení Riemannova problému známo, což má velký význam pro orientaci. Toto řešení je popsáno na následujících řádcích.

Mějme situaci, kdy počáteční podmínky jsou homogenní pro x > 0 i pro x < 0. V obou částech nechť jsou dokonalé plyny, které jsou obecně různé s různým tlakem i teplotou. Tlak nalevo nechť je větší než tlak napravo. Pak dojde k vytvoření rázové vlny napravo a expanzní vlny nalevo, jak je znázorněno na obrázku 1.1.

[figure: ρ; x_{n}; x_{k}; x; 4; 3; 2; 1; rázová vlna; membrána; kontaktní nespojitost; konec expanze; začátek expanze]

Obr. 1.1: Rozložení hustoty v rázové trubici po protrhnutí membrány

látka  rozsah pro B’ [K] rozsah pro C’ [K]
Voda  373–473  473–598
Methanol  298–423  423–498
Čpavek  273–396  ——
Chloroform  316–398  ——
Tetrachlormethan  318–350  353–419

TABULKA 1.1: Teplotní rozsahy experimentálních dat z [8] použité při tvorbě funkcí fitujících druhý resp. třetí viriální koeficient.

Dodatek

Materiálové vlastnosti použité k výpočtům

\frac{B′p_{c}}{RT_{c}} = f_{0}(T_{r}) + ωf_{1}(T_{r}),  (1.11)

kde

f_{0}(T_{r}) = 0.1445 − \frac{0.330}{T_{r}} − \frac{0.1385}{T_{r}^{2}} − \frac{0.0121}{T_{r}^{3}} − \frac{0.000607}{T_{r}^{8}},

f_{1}(T_{r}) = 0.0637 − \frac{0.331}{T_{r}^{2}} − \frac{0.423}{T_{r}^{3}} − \frac{0.008}{T_{r}^{8}}.

\frac{B′p_{c}}{RT_{c}} = \frac{9}{128} (1 − \frac{6}{T_{r}^{2}} ) − aT_{r}e^{\frac{b}{T}}  (A.2)

TOTO JE POKUSNÝ ODKAZ: první řádek hned za rovnicí 1.3 je v odstavci 1.1 na straně 5.

látka  rozsah pro B’ [K] rozsah pro C’ [K]
Methanol  298–423  423–498
Čpavek  273–396  ——
Chloroform  316–398  ——
Tetrachlormethan  318–350  353–419

Tabulka 1.2: Teplotní rozsahy experimentálních dat z [8] použité při tvorbě funkcí fitujících druhý resp. třetí viriální koeficient.

Literatura

[1] G.Gyarmathy. The spherical droplet in gaseous carrier streams. In G.F.Hewitt, J.M.Delhaye, and N. Zuber, editors, Multiphase Science and Technology. Hemisphere Publishing Corporation, McGraw-Hill C., 1982.

[2] J.Lothe and G.M.Pound. Reconsiderations of nucleation theory. Journal of Chemical Physics, 36:2080–2085, 1962.

[3] C.S.Kiang, D.Stauffer, G.H.Walker, O.P.Puri, J.D.Wise Jr., and E.M.Patterson. J.Atmospheric Sci., 28:1222, 1971.

[4] S.L.Girshick and Chia-Pin-Chiu. Kinetic nucleation theory: A new expression for the rate of homogeneous nucleation from an ideal supersaturated vapor. Journal of Chemical Physics, 93:1273–1277, 1990.

[5] A.Dillmann and G.E.Meier. A refined droplet approach to the problem of homogeneous nucleation from the vapor phase. Journal of Chemical Physics, 94:3872–3884, 1991.

[6] V.I.Kalikmanov and M.E.H. van Dongen. Semiphenological theory of homogeneous vapor–liquid nucleation. Journal of Chemical Physics, 103:1– 6, 1995.

[7] K.P.Stanjukovič. Něustanovivčiěsja dviženija splošnoj sredy. Gosudarstvennoje izdatělstvo techniko–teoretičekoj literatury, Moskva, Moskva, 1955.

[8] J.H.Dymond and E.B.Smith. The Virial Coefficients of Pure Gases and Mixtures. Clarendon Press, Oxford, 1980.