Otázky z predmetu Matematická analýza I
2023/2024



A. Základné pojmy z teórie množín a reálnych čísel

  • 01. Dôkazy v matematike (rôzne dôkazy, $\dots$). Množina (množiny a operácie s nimi, $\dots$). Zobrazenie množín (binárna relácia, funkcia, injekcia, surjekcia, bijekcia, zložené a inverzné zobrazenie, identita, $\dots$).
  • 02. Číselné množiny (ekvivalentnosť a mohutnosť množín, spočítateľnosť a nespočítateľnosť množín, ohraničenia množiny, minimum, maximum, infimum, suprémum, $\dots$, množiny $N$, $Z$, $Q$, $I$ a $R$, $\infty$ a operácie s nim, $\dots$).
  • 03. Okolia a intervaly (okolie bodu, prstencové okolie bodu, pravé a ľavé okolie bodu, intervaly a ich vzťah s okoliami, $\dots$). Otvorené a uzavreté množiny (vnútro, vonkajšok a hranica množiny, hromadný bod množiny, uzavretá množina, izolovaný bod množiny, otvorená množina, $\dots$).

    • A. Číselné postupnosti a rady

  • 04. Postupnosti (explicitné a rekurentné vyjadrenie, ohraničené a neohraničené postupnosti, monotónne postupnosti, vybrané postupnosti, operácie s postupnosťami, súčet, rozdiel, súčin a podiel, $\dots$).
  • 05. Limita postupnosti (vlastný a nevlastný hromadný bod, množina hromadných hodnôt postupnosti, limes inferior, limes superior postupnosti, limita postupnosti, vlastná a nevlastná limita, konvergencia a divergencia postupnosti, oscilácia postupnosti, $\dots$). Základné pravidlá pre výpočet limít postupností (vzťah medzi limitou postupnosti a limitou vybranej postupnosti, vzťah medzi limitami postupností $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{|a_n|\}^{\infty}_{n=1}$, resp. $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{1/a_n\}^{\infty}_{n=1}$, vzťah medzi limitami postupností $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{b_n\}^{\infty}_{n=1}$, ak $a_n\lt b_n$, resp. $a_n\le b_n$, $\dots$).
  • 06. Rady (postupnosť čiastočných súčtov radu, súčet radu, konvergencia a divergencia radu, geometrický a aritmetický rad, nutná podmienka konvergencie radu, porovnávacie, D'Alembertovo, Cauchyho a  kritérium, $\dots$)
  • 07. Alternujúce rady (relatívna a absolútna konvergencia, Leibnizovo kritérium, $\dots$)

    • A. Reálna funkcia reálnej premennej

  • 08. Základné pojmy (definícia, $D(f)$, $H(f)$, graf funkcie, funkcia zadaná explicitne, implicitne, parametricky, ohraničenosť, neohraničenosť, infimum a suprémum funkcie, lokálne a globálne extrémy funkcie, monotónnosť, párnosť a nepárnosť funkcie, periodickosť, konvexnosť a konkávnosť, $\dots$). Operácie s funkciami (rovnosť a nerovnosť funkcií, operácie $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $f/g$, $|f|$, $f^n$, zúženie funkcie $f$ na množinu $A$, zložená a inverzná funkcia, $\dots$).
  • 09. Elementárne funkcie (definícia, polynóm, racionálna lomená funkcia, mocninná funkcia, exponenciálna funkcia, logaritmická funkcia, goniometrické a cyklometrické funkcie, $\dots$).
  • 10. Limita funkcie (definícia, limita zľava a sprava, limita funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $|f|$, $f/g$, limita zloženej funkcie, vzťah medzi limitou a jednostrannými limitami, $\dots$).
  • 11. Spojitosť funkcie (definícia, nespojitosť v bode, body odstrániteľnej a neodstrániteľnej nespojitosti, spojitosť funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $|f|$, $f/g$, spojitosť zloženej funkcie, spojitosť zľava a sprava, spojitosť inverznej funkcie, $\dots$).

    • A. Diferenciálny počet funkcie reálnej premennej

  • 12. Derivácia funkcie (2 koncepty pre meranie veličiny: "Ako veľa" vs. "Ako rýchlo", príklady takýchto vzťahov; vzťah medzi prietokom $Q$ a objemom natečenej vody $V$, grafy pre lineárne $V$ a kvadratické $V$; výpočet aktuálneho $Q(t_0)$ z krivky $V(t)$, definícia derivácie $V(t)$ v bode $t_0$ cez limitu $\dots$).
  • 13. Základné vzťahy pre deriváciu funkcie (derivácia funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $f/g$, derivácia inverznej funkcie aj so zdôvodnením cez obrázok podľa symetrie $y=x$, derivácia zloženej funkcie aj so zdôvodnením pomocou definície cez limitu, základné vzorce pre deriváciu funkcií $c$, $x^a$, $a^x$, $\mathrm{e}^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$, $\cos{x}$, $\mathrm{tg}\,x$, $\mathrm{cotg}\,x$, $\mathrm{arcsin}\,x$, $\mathrm{arcos}\,x$, $\mathrm{arctg}\,x$, $\mathrm{arccotg}\,x$, $\dots$).
  • 14. Derivácia parametricky zadanej funkcie (derivácia parametricky zadanej funkcie; príklad parametricky zadanej funkcie, napr. spotreba, kružnica; derivácia parametricky zadanej funkcie aj s odôvodnením cez definíciuv
  • 15. Derivácie vyšších rádov a l'Hospitalovo pravidlo (príklad druhej derivácie, ako to zapadá do konceptu "Ako veľa" a "Ako rýchlo"; druhá a vyššie derivácie definícia; l'Hospitalovo pravidlo, $\dots$).
  • 16. Vyšetrovanie priebehu funkcie pomocou diferenciálneho počtu (všeobecný princíp hľadania intervalov kladnosti a zápornosti pre spojité funkcie; monotónnosť, lokálne extrémy a vzťah k nulovej derivácii; nutná a postačujúca podmienka pre extrém, stacionárny bod, konvexnosť a konkávnosť, vzťah k druhej derivácii, inflexný bod; globálne extrémy, príklad funkcie s lokálnym extrémom a bodom nespojitosti, $\dots$).

    • B. Neurčitý a určitý integrál

  • 01. Neurčitý integrál (vzťah medzi prietokom $Q(t)$ a objemom natečenej vody $V(t)$, čo znamená určiť $V(t)$ pre dané $Q(t)$, primitívna funkcia, vlastnosti primitívnej funkcie, neurčitý integrál, integrovanie spojitých funkcií, základná vzorce pre súčet, rozdiel funkcií, násobenie konštantou, základné vzorce pre integrovanie elementárnych funkcií, $\dots$).
  • 02. Základné metódy integrovania (metóda rozkladu, metóda per partes a jej odvodenie z derivácie súčinu funkcií, metóda substitúcie a jej odvodenie z derivácie zloženej funkcie, $\dots$).
  • 03. Určitý integrál (vzťah medzi grafom rýchlosti sťahovania súboru $DS(t)$ a veľkosťou stiahnutého súboru $HD(t)$, približný spôsob určenia veľkosti výsledného súboru, spresnenie toho spôsobu; delenie intervalu, zjemnenie delenia, norma delenia, dolný a horný integrálny súčet, vzťahy medzi nimi, definícia Riemanovho integrálu, $\dots$).
  • 04. Riemannov integrál (výpočet Riemanovho integrálu z definície; príklad pre funkciu $f(t)=t$ na intervale $(0,20)$; Newton Leibnitzov vzorec, odvodenie Newton-Leibnitzovho vzorca na príklade veľkosti stiahnutého súboru $HD(t)$ a rýchlosti sťahovania $DS(t)$; aditívnosť, definícia pre $a=b$, $b\lt a$, metóda per partes, metóda substitúcie, integrovanie párnej a nepárnej funkcie, $\dots$).

    • B. Funkcie viacerých reálnych premenných

  • 05. Základné pojmy (Euklidov priestor $R^n$, euklidovská norma a metrika, otvorená, súvislá a nesúvislá množina, okolia, intervaly, reálna a vektorová funkcia $n$ premenných, zložená funkcia, graf funkcie, $c$-hladina, karteziánske a polárne súradnice v $R^2$, $\dots$).
  • 06. Limita funkcie viacerých reálnych premenných (definícia viacrozmernej limity, vlastná a nevlastná limita, limita vo vlastnom a nevlastnom bode, limita zloženej funkcie, prevod viacrozmernej limity na viacnásobnu limitu, dvojná (dvojrozmerná) a dvojnásobná limita, $\dots$).
  • 07. Spojitosť funkcie viacerých reálnych premenných (spojitosť funkcie v bode a na množine, definícia a základné vlastnosti, spojitosť zloženej funkcie, $\dots$).
  • 08. Derivácia funkcie viacerých premenných (lineárna funkcia $f:R^n\to R^m$, jej reprezentácia maticou $D$ typu $m\times n$ a ich vzťah, definícia diferencovateľnej funkcie, derivácia a diferenciál funkcie v bode, vzťah medzi diferencovateľnosťou a spojitosťou, parciálne derivácie a ich vzťah s deriváciou funkcie, derivácia funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $f/g$, derivácia zloženej funkcie, $\dots$).
  • 09. Derivácia funkcie viacerých premenných (derivácia v smere vektora $H$, vzťah s parciálnymi deriváciami, parciálne derivácie vyšších rádov, Sylvestrovo kritérium, nutná a postačujúca podmienka existencie extrému funkcie $f:R^n\to R$, $\dots$).


    • HOME PAGE

    beerb@frcatel.fri.utc.sk