Sylaby z predmetu Matematická analýza I
2022/2023



A. Základné pojmy z teórie množín a reálnych čísel

  • 01. Dôkazy v matematike (priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz pomocou obrátenej implikácie, dôkaz sporom, dôkaz matematickou indukciou, $\dots$).
  • 02. Množina (množina, prvok množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel, symetrický rozdiel množín, doplnok množiny, karteziánsky súčin množín, $\dots$). Zobrazenie množín (binárna relácia, funkcia, definičný obor, obor hodnôt, injekcia, surjekcia, bijekcia, rovnosť zobrazení, zložené a inverzné zobrazenie, identita, $\dots$).
  • 03. Číselné množiny (ekvivalentnosť množín, mohutnosť množín, ekvivalencia množín, spočítateľnosť a nespočítateľnosť množín, horné a dolné ohraničenie množiny, minimum, maximum, infimum, suprémum množiny, $\dots$). Číselné množiny (množiny prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísel, nekonečno a operácie s nekonečnom, rozšírená množina reálnych čísel, absolútna hodnota a signum reálneho čísla, $\dots$).
  • 04. Okolia a intervaly (okolie bodu, prstencové okolie bodu, pravé a ľavé okolie bodu, degenerované a nedegenerované intervaly a ich vzťah s okoliami, $\dots$). Otvorené a uzavreté množiny (vnútorný, vonkajší a hraničný bod množiny, vnútro, vonkajšok a hranica množiny, hromadný bod množiny, uzáver množiny, uzavretá množina, izolovaný bod množiny, otvorená množina, príklady otvorených a uzavretých množín, $\dots$).

    • A. Číselné postupnosti a rady

  • 05. Postupnosti (explicitné a rekurentné vyjadrenie, zhora a zdola ohraničené, ohraničené a neohraničené postupnosti, monotónne a konštantné postupnosti, vybrané postupnosti, operácie s postupnosťami, súčet, rozdiel, súčin a podiel postupností, $\dots$).
  • 06. Limita postupnosti (vlastný a nevlastný hromadný bod, veta o existencii aspoň jedného hromadného bodu postupnosti, množina hromadných hodnôt postupnosti, limes inferior, limes superior postupnosti, limita postupnosti, vlastná a nevlastná limita, $\dots$). Limita postupnosti (ekvivalentná definícia vlastnej a nevlastnej limity, konvergencia a divergencia postupnosti, oscilácia postupnosti, $\dots$).
  • 7. Základné pravidlá pre výpočet limít postupností (vzťah medzi limitou postupnosti a limitou vybranej postupnosti, vzťah medzi limitami postupností $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{a_{n+1}\}^{\infty}_{n=1}$, limita postupností $\{c\cdot a_n\}^{\infty}_{n=1}$, $\{|a_n|\}^{\infty}_{n=1}$, $\{a_n+b_n\}^{\infty}_{n=1}$, $\{a_n-b_n\}^{\infty}_{n=1}$, $\{a_n\cdot b_n\}^{\infty}_{n=1}$, $\{a_n/b_n\}^{\infty}_{n=1}$, vzťah medzi limitami postupností $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{|a_n|\}^{\infty}_{n=1}$, resp. $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{1/a_n\}^{\infty}_{n=1}$, vzťah medzi limitami postupností $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{b_n\}^{\infty}_{n=1}$, ak $a_n\lt b_n$, resp. $a_n\le b_n$, veta o zovretí, $\dots$). Vety pre výpočet limít postupností a niektoré dôležité limity postupností (vzťah medzi limitami postupností $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{\sqrt[n]{a_n}\}^{\infty}_{n=1}$, resp. $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ a $\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\}^{\infty}_{n=1}$, veta o limite monotónnej postupnosti, dôležité limity -- $\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a}}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!})}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{a}{n})^n}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{n(\sqrt[n]{\mathrm{e}}-1)}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n!}}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{n!}{n^n}}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{a^n}{n!}}$, $\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{n^k}{a^n}}$, $\dots$).
  • 8. Rady ($n$-ty zvyšok, $n$-ty čiastočný súčet radu, postupnosť čiastočných súčtov radu, súčet radu, konvergencia a divergencia radu, konvergentné, divergentné a oscilujúce rady, harmonický, geometrický a aritmetický rad, nutná podmienka konvergencie radu, alternujúce rady, relatívna a absolútna konvergencia, $\dots$)
  • 9. Kritéria konvergencie radov (porovnávacie, D'Alembertovo, Cauchyho a ich limitné tvary, Leibnizovo kritérium, $\dots$)

    • A. Reálna funkcia reálnej premennej

  • 10. Pojem reálnej funkcie (definícia, $D(f)$, $H(f)$, prirodzený $D(f)$, graf funkcie, funkcia zadaná explicitne, implicitne, parametricky, Dirichletova funkcia, $\dots$). ) Základné vlastnosti reálnych funkcií (ohraničenosť zdola, zhora, ohraničenosť, neohraničenosť, infimum a suprémum funkcie, lokálne a globálne extrémy funkcie, monotónne funkcie, párne a nepárne funkcie, periodické funkcie, konvexné a konkávne funkcie, $\dots$).
  • 11. Operácie s funkciami (rovnosť a nerovnosť funkcií $f$, $g$, vzťah $f\lt g$, resp. $f\le g$, operácie $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $f/g$, $|f|$, $f^n$, reštrikcia funkcie $f$ na množinu $A$, zložená a inverzná funkcia, $\dots$).
  • 12. Elementárne funkcie (definícia, polynóm, racionálna lomená funkcia, mocninná funkcia, exponenciálna funkcia, logaritmická funkcia, goniometrické a cyklometrické funkcie, základné súčtové vzorce pre funkcie sínus a kosínus, hyperbolické a hyperbolometrické funkcie, $\dots$).
  • 13. Limita funkcie (definícia, ekvivalentná definícia pomocou okolí, limita funkcie vzhľadom na množinu, limita zľava a sprava, limita funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $|f|$, $f/g$, limita pre funkcie $f\lt g$, limita zloženej funkcie, vzťah medzi limitou a jednostrannými limitami, $\dots$).
  • 14. Spojitosť funkcie v bode (definícia, ekvivalentná definícia pomocou okolí, nespojitosť v bode, body odstrániteľnej a neodstrániteľnej nespojitosti, spojitosť funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $|f|$, $f/g$, spojitosť zloženej funkcie, lokálna ohraničenosť spojitej funkcie, spojitosť zľava a sprava, spojitosť inverznej funkcie, $\dots$).

    • A. Diferenciálny počet funkcie reálnej premennej

  • 15. Derivácia funkcie v bode (definícia, rôzne zápisy, vlastná a nevlastná derivácia funkcie v bode, vzťah medzi spojitosťou a deriváciou funkcie v danom bode, jednostranné derivácie v bode, derivácia funkcie na množine, $\dots$).
  • 16. Základné vzťahy pre deriváciu funkcie (derivácia funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $f/g$, derivácia inverznej funkcie, derivácia zloženej funkcie, logaritmická derivácia, základné vzorce pre deriváciu funkcií $c$, $x^a$, $a^x$, $\mathrm{e}^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$, $\cos{x}$, $\mathrm{tg}\,x$, $\mathrm{cotg}\,x$, $\mathrm{arcsin}\,x$, $\mathrm{arcos}\,x$, $\mathrm{arctg}\,x$, $\mathrm{arccotg}\,x$, $\dots$).
  • 17. Diferenciál funkcie v bode (definícia, diferencovateľná funkcia, veta o najlepšej lokálnej aproximácii lineárnou funkciou a jej využitie, $\dots$). Derivácia a diferenciál vyšších rádov (definícia derivácie $n$-tého rádu, rôzne zápisy, Leibnizov vzorec, derivácia funkcie zadanej parametricky, $\dots$).
  • 18. Aplikácie diferenciálneho počtu (vety o stredných hodnotách -- Rolleho a Lagrangeova veta, L'Hospitalovo pravidlo pre výpočet limity funkcie a jeho využitie, $\dots$).
  • 19. Taylorov polynóm (definícia, zvyšok Taylorovho polynómu, koeficienty Taylorovho polynómu, MacLaurinov polynóm, MacLaurinove polynómy funkcií $\sin{x}$, $\cos{x}$, $\mathrm{e}^x$, $\ln{(x+1)}$, $\frac{1}{1-x}$, $\dots$).
  • 20. Vyšetrovanie priebehu funkcie pomocou diferenciálneho počtu (monotónnosť a extrémy funkcie, nutná a postačujúca podmienka existencie extrémov, stacionárny bod, konvexnosť, konkávnosť, inflexný bod, existencia inflexného bodu, asymptoty bez smernice a asymptoty so smernicou, $\dots$).

    • B. Neurčitý a určitý integrál

  • 01. Základné pojmy (primitívna funkcia, vlastnosti primitívnej funkcie, neurčitý integrál, integrovanie spojitých funkcií, základné vzorce pre integrovanie elementárnych funkcií, $\dots$).
  • 02. Základné metódy integrovania (metóda rozkladu, metóda per partes, metóda substitúcie, $\dots$).
  • 03. Niektoré špeciálne metódy integrovania (parciálne zlomky, integrovanie racionálnej lomenej funkcie, integrovanie goniometrických funkcií typu $f(\sin{x},\cos{x})$, univerzálna goniometrická substitúcia, $\dots$).
  • 04. Základné pojmy (krivočiary lichobežník, delenie intervalu, deliace body, norma delenia, zjemnenie delenia, dolný a horný integrálny súčet, Riemannov integrálny súčet, ich vlastnosti a vzťahy medzi nimi, dolný a horný Riemannov integrál, Riemannov integrál a vzťahy medzi nimi, Riemannovsky integrovateľná funkcia, $\dots$).
  • 05. Riemannov integrál (základné vlastnosti, geometrická interpretácia Riemannovho integrálu, integrovanie funkcií $c\cdot f$, $f+g$, aditívnosť, definícia pre $a=b$, $b\lt a$, integrovanie funkcií $f\le g$, $f=g$, $\dots$).
  • 06. Neurčitý Riemannov integrál (integrál ako funkcia hornej hranice, jeho základné vlastnosti, Newton-Leibnizov vzorec, metóda per partes, metóda substitúcie, integrovanie párnej a nepárnej funkcie na intervale $\langle-a,a\rangle$, $\dots$).

    • B. Funkcie viacerých reálnych premenných

  • 07. Základné pojmy (Euklidov priestor $R^n$, euklidovská norma a metrika, otvorená, súvislá a nesúvislá množina, okolia, intervaly -- otvorené, uzavreté ap., degenerované a nedegenerované, $n$-rozmerná kocka, reálna a vektorová funkcia $n$ premenných, zložená funkcia, graf funkcie, $c$-hladina, karteziánske a polárne súradnice v $R^2$, $\dots$).
  • 08. Limita funkcie viacerých reálnych premenných (hromadný bod, uzavretá množina, definícia viacrozmernej limity, vlastná a nevlastná limita, limita vo vlastnom a nevlastnom bode, limita zloženej funkcie, základné vlastnosti a lokálna ohraničenosť funkcie pri konečnej limite, základné pravidlá pre výpočet limít, $\dots$).
  • 09. Limita funkcie viacerých reálnych premenných (podmienky a prevod viacrozmernej limity na viacnásobnu limitu, dvojná (dvojrozmerná) a dvojnásobná limita, príklad keď viacnásobné limity existujú a rovnajú sa, ale viacrozmerná limita neexistuje, $\dots$).
  • 10. Spojitosť funkcie viacerých reálnych premenných (spojitosť funkcie v bode a na množine, definícia a základné vlastnosti, lokálna ohraničenosť spojitej funkcie, spojitosť zloženej funkcie, $\dots$).
  • 11. Derivácia a diferenciál funkcie viacerých premenných (lineárna funkcia $f:R^n\to R^m$, jej reprezentácia maticou $D$ typu $m\times n$ a ich vzťah, definícia diferencovateľnej funkcie, derivácia a diferenciál funkcie v bode, vzťah medzi diferencovateľnosťou a spojitosťou, $\dots$).
  • 12. Derivácia a diferenciál funkcie viacerých premenných (parciálne derivácie podľa jednotlivých zložiek, vzťah s deriváciou funkcie, príklad funkcie keď v danom bode všetky parciálne derivácie podľa všetkých premenných existujú ale derivácia neexistuje, gradient funkcie, derivácia funkcií $f+g$, $f-g$, $c\cdot f$, $f\cdot g$, $f/g$, derivácia zloženej funkcie, $\dots$).
  • 13. Derivácia a diferenciál funkcie viacerých premenných (derivácia v smere vektora $H$, vzťah s parciálnymi deriváciami, parciálne derivácie vyšších rádov, zmiešané parciálne derivácie, $k$-krát diferencovateľná funkcia $f:R^n\to R$, diferenciál $k$-teho rádu, $\dots$).
  • 14. Derivácia a diferenciál funkcie viacerých premenných (kvadratické formy v $R^n$, základné vlastnosti kvadratických foriem, kladná a záporná definitnosť a semidefinitnosť, indefinitnosť, transformácia na diagonálny tvar, Sylvestrovo kritérium, vzťah s diferencialom 2.rádu, nutná a postačujúca podmienka existencie extrému funkcie $f:R^n\to R$, $\dots$).
  • 15. Derivácia a diferenciál funkcie viacerých premenných (viazaný extrém funkcie $f:R^n\to R$ na množine $G=\{X\in D(f), g(X)=0\}$, Lagrangeov multiplikátor, viacnásobný Lagrangeov multiplikátor, príklad na výpočet viazaného extrému, $\dots$).


    • HOME PAGE

    beerb@frcatel.fri.utc.sk