Sylaby z predmetu 5BF019 Matematická analýza III


Komplexná analýza [KA]

  • a01. Základné pojmy (imaginárna jednotka, komplexné číslo [kč], reálna a imaginárna časť kč, komplexná rovina, komplexne združené kč a ich vlastnosti, absolútna hodnota kč jej základné vlastnosti, goniometrický tvar kč, argument kč - hodnota a hlavná hodnota, Riemannova guľa, nekonečno a operácie s nekonečnom, okolia, ... )
  • a02. Komplexné funkcie komplexnej premennej [kf] (definícia, D(f), H(f), funkčná hodnota, rozdiely oproti reálnej funkcii reálnej premennej, jednoznačnosť a mnohoznačnosť kf, jednoznačná vetva, príklady jednoznačných a mnohoznačných kf, jednotlivé zložky kf, ... )
  • a03. Limita komplexnej funkcie komplexnej premennej (definícia, hromadný bod, základné vlastnosti, vety na výpočet limity, limita zloženej funkcie, ... )
  • a04. Spojitosť komplexnej funkcie komplexnej premennej (spojitosť v bode a na množine, základné vlastnosti, vety o spojitosti komplexnej funkcie, spojitosť zloženej funkcie, ... )
  • a05. Derivácia komplexnej funkcie komplexnej premennej (definícia, diferenciál, derivácia zloženej a inverznej funkcie, Cauchy-Riemannove podmienky, diferencovateľnosť, holomorfná (analytická) funkcia v bode a na otvorenej množine, ... )

    • Funkcionálne postupnosti a funkcionálne rady [FR]

  • a06. Číselné rady (definícia číselného radu, n-tý čiastočný súčet radu, n-tý zvyšok radu, súčet radu, konvergencia a divergencia radu, oscilácia radu, nutná podmienka konvergencie radu, harmonický a geometrický rad, ...)
  • a07. Základné pravidlá pre výpočet súčtov radov (súčet radu, ktorý vznikne zmenou konečného počtu členov, súčet radov {c.a_n}, {a_n+b_n}, {a_n-b_n}, vzťah medzi konvergentným radom a jeho postupnosťou čiastočných súčtov, 1.porovnávacie, D'Alembertove podielové, Cauchyho odmocninové, Raabeho kritérium a ich limitné tvary, ...)
  • a08. Rady so striedavými znamienkami a prerovnanie radov (absolútna a relatívna konvergencia radu, vzťah medzi absolútnou konvergenciou a konvergenciou radu, alternujúci rad, Leibnizovo kritérium pre alternujúci rad, prerovnaný rad, Riemannova veta o prerovnaní relatívne konvergentného radu, konštrukcia radu s konkrétnym súčtom, súčty radov SUM(1/n!), SUM((-1)^n/n!), SUM((-1)^n/n), SUM(1/n^2), ...)
  • a09. Funkcionálne postupnosti (definícia a základné pojmy, bodová a rovnomerná konvergencia, veta o zámene limít, veta o spojitosti postupnosti spojitých funkcií, veta o limitnom prechode pri derivovaní, veta o limitnom prechode pri integrovaní, ...)
  • a10. Funkcionálne rady (definícia a základné pojmy, čiastočný súčet, vzťah medzi funkcionálnymi postupnosťami a funkcionálnymi radmi, bodová a rovnomerná konvergencia, veta o spojitosti radu spojitých funkcií, ...)
  • a11. Funkcionálne rady (kritéria o rovnomernej konvergencii funkcionálnych radov, o majorantnom rade, veta o derivovaní funkcionálneho radu po členoch, veta o integrovaní funkcionálneho radu po členoch, ...)
  • a12. Mocninné rady (definícia a základné pojmy, polomer, stred a interval konvergencie, veta o konvergencii mocninného radu, Cauchy-Hadamardovo kritérium, podielové kritérium pre polomer konvergencie, ...)
  • a13. Mocninné rady (derivovanie a integrovanie mocninných radov po členoch a ich použitie pri výpočtoch, Taylorov rad, MacLaurinov rad, ...)
  • a14. Trigonometrické rady (Fourierové koeficienty a Fourierov rad, vlastnosti Fourierovho radu, periodické predĺženie funkcie, ...)
  • a15. Trigonometrické rady (Párne a nepárne periodické predĺženie funkcie, sínusový a kosínusový trigonometrický rad, derivovanie a integrovanie Fourierových radov po členoch, ...)

    • Obyčajné diferenciálne rovnice [ODR]

  • b01. Obyčajné diferenciálne rovnice (základné pojmy, DR rádu na jej riešenie, systém n DR 1.rádu a jeho riešenie, prevod DR rádu n na systém n DR 1.rádu, orbita a trajektória riešenia, počiatočné podmienky, Cauchyho úloha, ... )
  • b02. DR y'=f(x,y) (jej riešenie, lineárny element, smerové pole DR, izokliny, ilustračný príklad, ... )
  • b03. Metóda separácie premenných [MSP] (separovateľné DR, princíp MSP, ... )
  • b04. Metóda separácie premenných [MSP] (transformácie niektorých DR na separovateľné DR, DR y'=f(y/x), DR y'=f(ax+by+c), DR y'=f((ax+by)/(Ax+By), DR y'=f((ax+by+c)/(Ax+By+C), ... )
  • b05. Lineárna DR 1.rádu y'+p(x)y=f(x), y(x_0)=y_0 (riešenie homogénnej DR y'+p(x)y=0, Lagrangeova variácia konštánt [LVK] a jej použitie pri riešení nehomogénnej DR y'+p(x)y=f(x), jednoznačnosť riešenia, Bernoulliho DR y'+p(x)y=q(x)y^s, ... )
  • b06. Metóda derivovania - zavedenia parametra (princíp a popis metódy, použitie na riešenie DR y=f(x,y'), DR x=f(y,y'), DR y=f(y')x+g(y'), DR y=y'x+g(y'), ... )
  • b07. Lineárna DR n-tého rádu a_0(x)y^(n)+a_1(x)y^(n-1)+...+a_n(x)y=f(x) (základné vlastnosti homogénnej DR a_0(x)y^(n)+a_1(x)y^(n-1)+...+a_n(x)y=0, operátor L(y)=a_0(x)y^(n)+a_1(x)y^(n-1)+...+a_n(x)y a jeho vlastnosti, všeobecné riešenie homogénnej DR -- základné vlastnosti, báza riešenia, ..., veta o znížení rádu homogénnej DR, všeobecné a partikulárne riešenie nehomogénnej DR, princíp superpozície riešenia, ... )
  • b08. Lineárna DR n-tého rádu y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_ny=f(x) s konštantnými koeficientami, (homogénna DR y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_ny=0, charakteristický polynóm, všeobecné riešenie tejto DR v závislosti od koreňov charakteristického polynómu, ... )
  • b09. Lineárna DR n-tého rádu y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_ny=f(x) s konštantnými koeficientami, (nehomogénna DR y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_ny=f(x) so špeciálnou pravou stranou f(x)=Q(x).Exp((a+ib)x), hľadanie partikulárneho riešenia, ... )
  • b10. Eulerova DR x^ny^(n)+a_1x^{n-1}y^(n-1)+...+a_ny=f(x) s konštantnými koeficientami (jej transformácia na lineárnu DR n-tého rádu s konštantnými koeficientami, všeobecné riešenie Eulerovej DR, ... )
  • b11. Lineárny sytém DR 1.rádu y'=A(x)y+f(x) (základné vlastnosti, všeobecné riešenie homogénneho systému y'=A(x)y, základné vlastnosti, báza riešenia, ..., všeobecné a partikulárne riešenie nehomogénneho systému y'=A(x)y+f(x), princíp superpozície riešenia, ... )
  • b12. Lineárny sytém DR 1.rádu y'=Ay+f(x) s konštantnými koeficientami (homogénny systém y'=Ay, charakteristický polynóm, všeobecné riešenie sytému v závislosti od koreňov charakteristického polynómu, reťazec zovšeobecnených vlastných vektorov, ... )
  • b13. Lineárny homogénny sytém DR 1.rádu y'=Ay s konštantnými koeficientami s počiatočnou podmienkou y(x_0)=y_0, (fundamentálna (bázická) matica, jej vzťah s riešením danej Cauchyho úlohy, štandartná fundamentálna (bázická) matica, jej základné vlastnosti, jej vzťah s riešením danej Cauchyho úlohy, jej výpočet, Putzerova metóda, ... )
  • b14. Lineárny nehomogénny sytém DR 1.rádu y'=Ay+f(x) s konštantnými koeficientami s počiatočnou podmienkou y(x_0)=y_0, (Lagrangeova metóda variácie konštánt na hľadanie partikulárneho riešenia daného sytému, Wronskián, systémy so špeciálnou pravou stranou f(x)=Exp((a+ib)x).(q_1(x),..., q_n(x))^T, hľadanie partikulárneho riešenia, ... )


    • PREDCHÁDZAJÚCA STRANA   alebo tiež   PREDCHÁDZAJÚCA STRANA
    HOME PAGE

    beerb@frcatel.fri.utc.sk